2.4 从简单模型中悟出真谛

为牛顿的巨大科学成就打下基础的人首推伽利略。伽利略强调定量的实验与数学推理之间的相互关系，这向现代科学跨进了一步；他的功绩不仅在于建立了种种正确的原理，而且在于推翻了各个有害的学说。与伽利略研究风格相反的是笛卡儿（1596—1650，法国哲学家和数学家），他也企图创建一个全新的动力学体系，但他完全不了解“运动之量”（动量）有其确定的方向，在碰撞中保持不变的乃是在同一方向上测出的动量。不过，正像一位历史学家所评论的那样：“在十七世纪初期关于力学所能轻易获得的那些真理中，伽利略掌握了一位天才所可能掌握的那么多，而笛卡儿掌握了一位天才起码要掌握的那么少。”费恩曼先生的知识太丰富了，很难找出哪些学科是他的软肋。

为了达到费恩曼所期待的物理教育目标，就要有从简单的知识中悟出比较深刻道理的本领。

2.4.1 阿特伍德机的启示

英国剑桥大学物理教师阿特伍德（George Atwood, 1746—1807）为了验证牛顿第二定律，设计了一个装置（图2-7）。固定的滑轮两边悬挂着两个重物，轻绳与滑轮间无摩擦且不可伸长。成果以论文《关于物体的直线运动和转动》发表。

这道题目被许多教材作为例题，甚至拓展成新的题目：①滑轮两侧有两人向上爬，问谁先爬到顶端？②把整个装置放进一个加速上升或下降的电梯里，计算两侧物体的加速度；③计及滑轮的转动惯量而绕在其上的绳子不可移动，用刚体转动定律计算系统的加速度和绳子的张力。这些都很好！因为问题越复杂就越有趣。但很少有人去告诉学生，它起初的真正目的。今天来审视这个简单装置，也会感叹它的优点：通过测出物体下降或上升的距离h以及所用的时间t，方便地定出物体的加速度。除了该装置易做之外，物体加速度小、易于测准，速度也小、空气阻力可忽略不计。

学习者们不可能穷尽力学难题，所以应从有限的典型题目中领会求解质点动力学的一套规则，即以下的四个步骤：①隔离物体受力分析；②建立坐标系列方程（若方程个数少于待求量数，则需引入辅助或约束方程）；③求解方程；④结果验证与分析。大学物理运用微分的优势体现在第二步。例如对刚才的阿特伍德机而言，两物体坐标之和加上半圆周绳长为常数，对等式两边求导，得知两物体加速度大小相等、方向相反。对于许多类似问题都可用求导法，从而免去中学物理费尽周折地去找待求量之间的关系。

2.4.2 抛体运动与弹道曲线

伽利略研究过抛射体运动，认为由两个独立运动合成，并得到其轨迹是一条抛物线的结论，他考虑的是不计空气阻力的理想情况。费恩曼在他的《物理学讲义（第1卷）》第8章运动中，也把抛体看作是一个在平面内复合运动的良好例子，但他没有考虑空气的阻力。已有的数据表明，随着弹丸初速度的增加，其在空气中的实际射程比真空中理论计算的结果小很多。最简单的解决方案是：设空气阻力的大小与质点的速率成正比，方向与速度相反。以下的例题也许是本科生遇到的第一个需要积分运算的题目，需要指出的是，对于类似的习题，要设法使得被积函数仅是变量的一元标量函数。

【例2-2】 以发射点为坐标原点，水平方向和竖直方向分别为x和y轴，若设空气阻力大小正比于质点速度、方向与之相反，则初速v0、发射角θ的抛射体满足的牛顿第二定律写作mv˙ =mg-kv。把这个矢量方程向两个坐标方向投影（不能直接对矢量积分，因为矢量不能出现在分母中），对它们经过两次积分得到x（t）和y（t）的解，然后再消去时间参数，最终给出抛射体的运动轨迹方程：

·我们更应关心的问题是：以上结果对吗（这肯定是物理学家经常需琢磨的事情）？如何绘出这个轨迹曲线（这可能是大学生学术竞赛要完成的任务）？显然，无空气阻力的理想结果对应于k → 0的极限，但（2.4.1）式有两项的分母趋于零，可利用自然对数的级数展开来抵消它们。也就是，,-1≤ε≤1。现令ε=kx/（mv0cos θ），就有

故（2.4.1）式当k→0时退化到抛物线理想结果。在相反的极限k→∞情况下，会发生什么呢？初学者可能不假思索地就让分母趋于无穷大，从而得出直线轨迹（y=x tan θ）的错误结论。别忘了！自然对数的定义域应非负，所以在（2.4.1）式中，若k→∞，则必须x→0，从而y→0，即物体将不运动。

第二个问题亦属于“费恩曼式”问题。他曾经就尚无法严格求解行星与太阳的引力方程，而用数值计算方法证实行星的轨迹为椭圆。为了简化数值计算，费恩曼假设时间单位或太阳质量已经过调整使GM = 1（通常我们把这种选择称为自然单位）。就本题而言，注意到抛射体的质量、空气阻力系数等并没有给出，应该将（2.4.1）式无量纲化。若探究弹道曲线随空气阻力系数和抛射角的变化情况，则可以忽略空气阻力的质点的上抛最大高度的两倍为坐标单位，时间以m/k为单位，进而也使阻力系数k无量纲化。即令, , 代入（2.4.1）式，得到如下无量纲的弹道轨迹方程（图2-8）：

·这里的无量化处理比费恩曼选用的那套自然单位要好，这是因为如果知道物理量的确切数值，那么只要乘上对应的量纲即可。本科生尽早接触数值计算与可视化，可以把物理学得灵活一些！

2.4.3 斜面上的非惯性参考系

斜面上的力学是再普通不过了，但费恩曼认为学力学就应该从这些简单的物件开始。将抛体运动置于倾角为α的光滑斜面上的车厢内进行，来讨论非惯性系的牛顿定律，进而把许多问题综合起来。

【例2-3】 假设车厢和斜面的长度均足够大，一质量为m的质点以初速v0与车厢底部夹角θ抛射，求其落回底板时相对抛出点的距离（图2-9）。

如果没有指定解题方案，那么就按照使问题变得最简单的方式进行。以地面为惯性参考系S，车厢为非惯性系S′，选横轴沿斜面向上，纵轴垂直斜面向上的直角坐标系。车厢的牵连加速度a0=g sin α，沿斜面向下。在S′系，质点被抛出后，受重力W和惯性力F1的作用，两者的合力W′=-mg cos αj，这相当于质点在非惯性系中受到一个“等效重力”W′。因此，仅以“等效重力加速度”g cos α代替g进入熟知的射程公式，即得到质点在车厢中的抛射距离：

·初学者可能对惯性力（费恩曼不惜制造一个令人别扭的“假”词来说明它）的概念不适应，现作一总结：①惯性力只在非惯性系中存在；②惯性力不存在反作用力；③只要在非惯性系内研究问题，质点即受惯性力，与质点是否跟随非惯性系运动无关；④惯性力在非惯性系内可测量。

让我们溯本求源，斜面上的物理最早是伽利略想使重力“变弱”的策略，这是由于当时缺乏精确地测量微小时间间隔的仪器。让一个小球从一个倾斜度可变的斜面上滚下来，他试图用这种方法来估计引力常量的值。按照费恩曼有趣的原则，我们考虑本问题的一个极限情况：若α=π/2，则W′=0。抛射体在车厢内完全失重，射程趋于无穷大（x′→∞），抛射物将不落回到车厢的底部。