5.2　相贯线

5.2.1　相贯线的概念和性质

（1）相贯线的概念

如图5-12所示，两立体相交，称为相贯。两立体相交表面产生的交线，称为相贯线。

（2）相贯线的性质

如图5-12所示，相贯线的主要性质:

① 表面性。相贯线位于两立体的表面上。

② 封闭性。相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。

③ 共有性。相贯线是两立体表面的共有线。求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。

5.2.2　两平面体相贯画法示例

求两平面立体表面的交线，实质上就是求平面与平面立体表面的交线，因此，求两平面立体相贯线的方法和步骤等同于求平面立体截交线的方法和步骤。

【例5-11】　如图5-13所示，求四棱柱与三棱锥相贯后的三面投影。

（1）空间分析与投影分析

四棱柱与三棱锥相贯，实质上是两个水平面和两个侧平面与三棱锥相交。两个水平面与三棱锥的四条交线均为水平线，且与三棱锥的底边平行，水平投影反映实形。作图的关键是利用辅助平面求出这四条交线的端点。

（2）作图步骤

① 画出正面投影，并画出除相贯线外的水平投影和侧面投影。

② 在正面投影上过四棱柱的两个水平面作辅助水平面P1和P2的迹线PV1和PV2，PV1和PV2与三棱锥的棱线相交于a'、b'，根据点的投影规律，求出两个点的水平投影a、b。过a、b作与三棱锥底边平行的两个三角形，这两个三角形实质上是两个辅助平面截三棱锥后的截平面的水平投影，相贯线上所有的端点都落在这两个三角形的边上。

③ 根据点的投影规律，求出相贯线上六个点的三面投影。

④ 判断可见性，画出相贯线，擦去多余的轮廓线，补全轮廓线，整理完成两相贯体的三面投影。

5.2.3　平面体与回转体相贯画法示例

求平面立体与曲面立体表面的交线，实质上就是求平面与曲面立体表面的交线，因此，求平面立体与曲面立体相贯线的方法和步骤等同于求曲面立体截交线的方法和步骤。

【例5-12】　如图5-14所示，求平面立体与曲面立体相贯后的三面投影。

（1）空间分析与投影分析

四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，其交线为两段直线;左右两棱面与圆柱轴线垂直，其交线为两段圆弧。

由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。两相贯体内表面的空间情况和投影情况与外表面雷同。

（2）作图步骤

① 长方体的前面与圆柱面相交为一段直线，该直线在侧面投影积聚为一点a″（b″），根据点的投影规律，求出该直线两个端点的水平投影a'、b'，连接a'、b'，即是该交线的正面投影。长方体两个侧面与圆柱面交线圆弧的正面投影，积聚为分别至a'、b'两点的两段直线。

② 可采用求外表面相贯线的方法和步骤求方孔和圆孔的相贯线。

③ 判断可见性，画出相贯线，擦去多余的轮廓线，补全轮廓线，整理完成两相贯体的三面投影。

【例5-13】　如图5-15所示，求平面立体与曲面立体相贯线后的三面投影。

（1）空间分析与投影分析

圆柱与四棱锥相贯，相贯线前后对称，绕圆柱表面一周，是封闭的空间曲线。相贯线的侧面投影落在圆柱侧面投影的圆上。需要求出相贯线的正面投影和水平投影。

作图的关键是:利用水平辅助平面，求相贯线上点的三面投影。用水平面截两个相贯体，截四棱锥是个四边形，其投影在水平面反映实形;截圆柱是个长方形，其投影在水平面反映实形，在水平投影面上作出这两个截平面的水平投影，其交点同时属于两个相贯体的表面，是两相贯体的共有点，即相贯线上的点。

（2）作图步骤

① 求出圆柱上、下轮廓线与四棱柱表面交点A、B的三面投影，利用水平辅助平面求出圆柱前、后轮廓线与四棱柱表面交点C、D的三面投影，这四个点是相贯线上的特殊位置点。

② 利用水平辅助平面，求出相贯线上四个一般位置点E、F、G、H的三面投影。

③ 判断可见性，画出相贯线，整理轮廓线，完成两相贯体的三面投影。

5.2.4　两回转体相贯画法示例

（1）常见回转体相贯线的性质

常见回转体相贯线的性质，见表5-2~表5-4。

（2）求回转体相贯线的方法

求相贯线与求截交线的作图步骤相同，分六个步骤求解:空间分析;投影分析;求特殊位置点;求一般位置点;判断可见性，作出相贯线;完整轮廓线。下面着重介绍求相贯线的方法。

求相贯线的方法主要有:利用积聚性法、辅助平面法和辅助球面法。

① 利用积聚性法。两立体相交，且其投影均有积聚性时，可利用积聚性法直接求出相贯线。

【例5-14】　如图5-16所示，求两圆柱的相贯线。

a.空间分析。两圆柱的轴线正交，两轴线构成的平面是两相贯体的前后对称面，且平行于V面。相贯线在两圆柱的表面上，且呈波浪形环绕小圆柱一周。

b.投影分析。相贯线水平投影积聚在小圆柱面水平投影的圆上，相贯线的侧面投影积聚在大圆柱侧面投影的圆的一段圆弧上。因此，水平投影和侧面投影已知，仅需求正面投影。

c.求特殊位置点。相贯线上共有四个特殊位置点:小圆柱左、右轮廓与大圆柱上轮廓的两个交点A、B，小圆柱前、后轮廓线与大圆柱面的交点C、D。A、B、C、D三面投影可直接求出，如图5-16所示。

d.求一般位置点。利用积聚性法求一般位置点。在相贯线的水平投影上，取两点1、2，利用大圆柱面侧面投影的积聚性，求出1″、2″，再根据点的两面投影，求出正面投影，如图5-16所示。

e.判断可见性并连线。相贯线的正面投影是可见的，光滑连接各点，相贯线的正面投影为可见的曲线，如图5-16所示。

f.完整轮廓线。小圆柱的左、右轮廓线与大圆柱上轮廓线相交，轮廓线正面投影，如图5-16所示。

图5-17中，表示了常见的圆柱和圆柱孔、圆柱孔和圆柱孔的相贯，这些相贯线的性质和求解方法与两圆柱外表面相贯是相同的。只是在画图时，不仅要画出这些相贯线，还要注意画出圆柱内表面轮廓线的投影。

【例5-15】　见图5-18，完成两圆柱相贯后的投影。

a.空间及投影分析。两圆柱轴线垂直，直立圆柱的水平投影为圆，具有积聚性，相贯线水平投影积聚在此圆上，相贯线的侧面投影积聚在水平圆柱侧面投影的圆的一段圆弧上，只需求出正面投影。

b.求特殊位置点。点1、3位于直立圆柱的左、右轮廓线上。由侧面投影1″、3″和水平投影l、3可求出正面投影l'和3'。点2、5位于直立圆柱前、后轮廓线上，由2″、5″和2、5可求出2'、5'。点4、6位于水平圆柱的上轮廓线上，由侧面、水平投影可求出正面投影4'、6'，如图5-18所示。

c.求一般位置点。一般点可利用圆柱面的积聚性直接求出，如在小圆柱面的水平投影上取7、8两点，按投影关系求出侧面投影7″、8″，并由7、8和7″、8″求出7'、8'，类似地还可以求其他一般点的投影，如图5-18所示。

d.判断可见性并连线。从水平投影知，点1、7、2、8、3位于两圆柱的前部表面，正面投影可见，因此，V面投影上1'7'2'8'3'画粗实线，1'、3'为可见性分界点，3'4'5'6'1'画虚线，如图5-18所示。

连接时要注意，相贯线的正面投影，在1'、3'处与直立圆柱的左右轮廓线的投影相切，在4'、6'处与水平圆柱上轮廓线的投影相切。

e.判别可见性既要判别相贯线的可见性，又要判别相交立体的轮廓线的可见性。相贯线的可见性取决于相贯线上点的可见性，而相贯线上点的可见性又取决于其所属两立体表面的可见性。相贯线可见与不可见两部分的分界点一般位于曲面立体的轮廓线上，作图时，应首先求出。

f.完整轮廓线。直立圆柱的左、右轮廓线的正面投影落在水平圆柱面1'、3'上，直立圆柱轮廓线正面投影应画到1'、3'两点，且可见。水平圆柱的上轮廓线与直立圆柱后圆柱面交于4'、6'两点，水平圆柱的上轮廓线应画到4'、6'两点，且在直立圆柱的左、右轮廓线之间的部分不可见。轮廓线的画法，如图5-18所示。

② 辅助平面法。两曲面立体表面相交，其相贯线不能用积聚性直接求出时，可用辅助平面法求解。辅助平面法求相贯线的基本原理是求三面共有的点。分别求出辅助平面与两曲面立体表面的交线，两交线的交点即是相贯线上的点，该点既在辅助平面上，又在两相交曲面立体表面上。选择辅助平面的原则:

a.所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的投影应是简单易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作为辅助面。

b.辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则得不到共有点。

【例5-16】　求圆柱与圆锥的相贯线，如图5-19所示。

a.空间及投影分析。圆柱和圆锥的轴线均为铅垂线，因此圆柱的水平投影（圆）有积聚性，相贯线的水平投影就积聚在此圆上，所以仅需求出相贯线的正面投影。为了较准确地画出相贯线，应首先求出特殊点，如最高点、最低点、最前点、最后点及含于轮廓线上的点等。

b.求特殊点。最高点Ⅰ、最低点Ⅱ是唯一的，是用水平辅助平面截切圆柱、圆锥所得两水平纬线圆的切点，最高点Ⅰ为外切点，最低点Ⅱ为内切点。据此在水平投影面上，以o为圆心，分别以o1、o2为半径作圆。由两圆直径即可确定最高辅助面Q的位置（Qv）和最低水平辅助面R的位置（Rv），进而可得1'、2'，见图5-19。同理，可确定最前点Ⅴ、最后点Ⅵ、最左点Ⅲ、最右点Ⅳ的水平辅助面的位置。从而可得5'、6'、3'、4'。

求最高点Ⅰ、最低点Ⅱ时是在水平投影面上作锥圆、柱圆的连心线o1o，与柱圆的交点分别为1、2，然后以o为圆心，以o1为半径作圆，由此圆直径确定最高水平辅助面Q的位置（Qv），1'∈Qv，从而求得1'。同样，以o为圆心，以o2为半径作圆，由此圆直径确定最低水平辅助面Rv的位置，2'∈Rv，从而求得2'。同上，由最前点Ⅴ、最后点Ⅵ、最左点Ⅲ、最右点Ⅳ的水平投影3、4、5、6分别求出其正面投影3'、4'、5'、6'。

c.求一般点。A、B是一般点，作水平辅助面P与圆柱、圆锥的辅助交线均为圆，水平投影反映圆的实形，两圆交于a、b两点，由a、b可求出a'、b'。同上可求得足够数量的一般点。

d.判别可见性，并连接各点。由H投影知，点3、2、5、b、4位于两回转体前部，正面投影可见，因此，曲线3'2'5'b'4'可见，画粗实线，其余不可见，画虚线。

e.完整轮廓线。因两立体相贯形成一个完整的相贯体，所以，圆柱的正面左、右轮廓线应画到3'、4'处，圆锥的左侧轮廓线在7'、8'处断开。

【例5-17】　见图5-20，求两圆柱斜交的相贯线。

a.空间及投影分析。两圆柱轴线斜交，具有平行于正面的公共对称面，其相贯线为空间曲线，前后对称。相贯线侧面投影积聚在水平圆柱侧面投影的圆的一段圆弧上，需要求相贯线的正面和水平面投影。本例选正平面为辅助平面。

b.求特殊点。最高点Ⅰ、Ⅲ（也是最左点、最右点）是斜圆柱左右轮廓线与水平圆柱上轮廓线的交点，故按投影关系可直接求出1'、3'，1、3，1″，3″。最低点Ⅱ、Ⅳ（也是最前点、最后点）由侧面投影2″、4″按投影关系求出2'、4'和2、4。

c.求一般点。用正平面P（PH，PW）作辅助面，与水平圆柱的辅助交线CD为侧垂线，其侧面投影c″、d″与a″、b″重合，由c″和d″可求出正面投影c'、d'，水平投影cd与PH重合。面P与斜圆柱的辅助交线为两条与该圆柱轴线平行的素线，其W投影积聚在PW上，水平投影积聚在PH上，PW与斜圆柱顶面的侧面投影（椭圆）交于e″、f″，按投影关系，由e″、f″求出e'、f'，然后过e'、f'分别作斜椭圆柱轴线的平行线，该两平行线与c'd'分别交于a'、b'，由a'、b'求出a、b。同上可求得足够数量的一般点;

d.判别可见性，连接各点。点Ⅰ、A、Ⅱ、Ⅳ位于两圆柱的上半部，其水平面投影41a2可见，画粗实线，2、4是可见性分界点，曲线2b34不可见，画虚线。相贯线的正面投影前后重合，故曲线1'a'2'b'3'可见，画粗实线。

e.完整轮廓线。水平面投影中，斜圆柱的前后轮廓线画到2、4处。

③ 辅助球面法。当两相贯回转体曲面相交（固定球心法）或过一回转曲面母线圆的中心所做的垂线与另一回转曲面的轴线相交（变心球面法），均可以交点为球心作公共的辅助球面，得到最简单的辅助交线，即平行投影面的圆，从而很方便地作出相贯线的公有点。这里仅介绍固定球心的辅助球面法。

【例5-18】　见图5-21，求圆柱与圆锥的相贯线。

分析及作图如前所述，不再详细分析。主要介绍如何利用辅助球面法求公有点。

以o'为球心，以适当的半径R作圆，即球面的正面投影;

作出球面与柱面、锥面的辅助交线（圆）的正面投影a'、b'、c';

得到公共点a'交b'为5'、6'，c'交b'为3'、4';

改变半径大小，以R=o'k'作为最小球面辅助面，又得到两个公有点的正面投影7'、8';

5、6点落在A圆的水平投影的圆上，同理得到其余各点的水平投影。

求出公共点后，判断可见性，连接各点，并完整轮廓线，如图5-21所示。

5.2.5　复合相贯画法示例

三个或三个以上的基本立体相交，称为复合相贯。求复合相贯线一般按照如下步骤作图:先分析复合相贯的基本形体;再分析两两相贯体相贯的情况;最后按照上述各节介绍的求相贯线的方法分别作图。

【例5-19】　如图5-22所示，完成复合相贯的正面投影。

a.分析复合相贯的组成。该复合相贯由四个基本形体组成。

b.分析两两相贯体相贯的情况。圆柱Ⅱ与圆柱Ⅰ正交;半圆柱Ⅲ与圆柱Ⅰ正交;长方体Ⅳ与圆柱Ⅰ相贯;圆柱Ⅲ与长方体Ⅳ相切;长方体Ⅳ与圆柱Ⅱ相贯。

c.依次求出圆柱Ⅱ与圆柱Ⅰ正交、半圆柱Ⅲ与圆柱Ⅰ正交、长方体Ⅳ与圆柱Ⅰ相贯、长方体Ⅳ与圆柱Ⅱ相贯的相贯线。

d.整理并完成复合相贯的三面投影。

【例5-20】　如图5-23所示，完成复合相贯的正面投影。

a.分析复合相贯的组成。该复合相贯由三个基本形体组成。

b.分析外表面相贯的情况。圆柱Ⅱ与圆柱Ⅰ正交，两圆柱直径相等，相贯线是平面椭圆，正面投影积聚为一段直线;长方体Ⅲ前面与圆柱Ⅰ相切，不呈现轮廓;长方体Ⅲ侧面与圆柱Ⅰ相交，交线为一段圆弧，正面投影积聚为一段直线。

c.依次求出圆柱Ⅱ与圆柱Ⅰ正交、长方体Ⅲ与圆柱Ⅰ相贯的相贯线。

d.求内表面相贯的分析方法、作图步骤与外表面的分析方法、作图步骤相同。

e.整理并完成复合相贯的三面投影。