§2　曲线的曲率与挠率，弗雷奈公式

曲率描述曲线弯曲的程度.挠率描述曲线偏离平面的程度——挠曲的程度。这两个量对于描述曲线的形状来说，具有决定性的意义。

2.a几个引理

为了以下讨论方便，我们先介绍几个涉及向量值函数导数的引理.

引理1　对于可导的向量值函数r1（t）和r2（t），我们有

证明　用坐标分量表示（r1（t），r2（t）），然后再利用数值函数的求导法则.请读者自己补充证明的细节.□

引理2　向量值函数

保持定长的充分必要条件是：r'与互相垂直，即

证明　我们约定记r2（t）=（r（t），r（t）。显然有

根据引理1，又有

由此就可得出所要证明的结论.□

引理3　设是单位长向量：

则r'（t）在与r（t）正交的方向上，它的模||r'（s）||表示向量r（t）转动的角度相对于参数t的变化率.

证明　我们用表示从向量r（t）到向量r（t+△t）的转角（图14-1），则有

于是有

2.b自然参数，曲率

考查曲线

这里假设连续可微足够多次，并且满足条件

曲线（2.1）的弧长可按下式计算

这里的t0是量测起始点的参数值.因为

根据反函数定理，可以断定t是s的连续可微足够多次的函数：

于是，可以用弧长作为曲线的参数，把（2.1）式改写成

以下，我们把弧长参数s叫做自然参数.为避免记号繁琐，对于不致于混淆的情形，就简单地把（2.3）式写成

在本章中，我们约定用圆黑点“·”表示对弧长参数求导.于是

由此得知，r是一个单位长向量

于是，r（s）是曲线（2.4）在r（s）处的单位长切向量.我们约定用记号

表示这单位长切向量。

请注意，为了讨论方便，我们约定把切向量看成自由向量，因而可以把各切向量的起点都移到坐标原点.读者以后逐渐能体会到这种看法的好处.

将T（S）=再对s求导，我们得到

既然T（s）=是单位长切向量，那么向量就在与T（S）正交的方向上，并且表示切向量T（S）对弧长S的转动速率

——请参看图14-2.

我们把切向量T（s）相对于弧长s的转动速率叫做曲线（2.4）在给定点的曲率，并把它记为k（s）于是

曲率K（s）的倒数

被称为曲率半径。与κ（S）一样，曲率半径ρ（S）也表示曲线弯曲的程度。只不过ρ（S）越小表示曲线弯曲得越厉害。对于κ（s）=0的情形，我们约定ρ（S）=+∞。

例1　考查圆周的方程

换成弧长参数

圆周的方程写成

利用以弧长为参数的方程，容易求得曲率k和曲率半径p：

例2　某段曲线为直线段的充分必要条件是：在这段曲线上曲率处处为0，即

证明　如果某段曲线为直线段，那么这段曲线以弧长为参数的方程可以写成

这里e是长度为1的常向量.将上面的方程微分两次就得到

因而

这证明了条件的必要性.

再来证明条件的充分性.假设

则有

于是

由此又得到

这证明了条件的充分性.□

2.C弗雷奈标架，挠率

曲线上曲率等于0的点被称为平直点.我们来考查不含平直点的一段曲线.在这段曲线上

所以可以定义

这是正交于T（s）的一个单位长向量，我们把它叫做曲线在给定点的主法线向量.利用切向量T（s）和主法线向量N（S），又可作出第三个向量

因为T（s）与N（s）是互相正交的单位向量，所以

由此可知：B（s）是与T（s）和N（S）都正交的单位向量.我们把B（s）叫做曲线在给定点的副法线向量.在曲线上的给定点，由切向量T（s）与主法线向量N（s）决定的平面，叫做曲线在这点的密切平面；由切向量T（s）与副法线向量B（s）决定的平面，叫做曲线在这点的从切平面；由主法线向量N（s）与副法线向量决定的平面，叫做曲线在这点的法平面.

这样，在曲线的每一个非平直点，我们建立了一个规范正交标架{T（s），N（s），B（s）}这标架被称为弗雷奈（Frenet）标架.由这标架决定的三面形被称为基本三面形.

当点沿着曲线运动时，弗雷奈标架也随着运动（像这样的标架被称为活动标架）.我们需要考查弗雷奈标架运动的状况.先证明一个引理.

引理4　设e1（t），e2（t），e3（t）是向量值函数，对每一参数值t它们都组成一个规范正交标架{e1（t），e2（t），e3（t）}.如果将

按这标架展开

那么展开的系数应是反对称的，即

由此可知

证明　我们有

将这式对t求导得到

这就是

定理　对于曲线的弗雷奈标架

我们有

这里k=k（s）是曲线在给定点的曲率.

证明　对于标架{T（s），N（s），B（s）}用上面的引理就得到

但我们知道

所以有

我们记

于是就得到

上面定理中所给出的公式被称为弗雷奈公式.该公式中的系数τ被称为曲线在给定点的挠率.下面，我们来说明挠率τ的几何意义.

引理5　设r（t）是一个n阶连续可微的向量值函数，则有以下的泰勒展式

其中的Rn+1（t）满足条件

我们还可以把r（t）的泰勒展式写成如下形式：

这里的小o余项表示满足条件（2.5）的向量值函数Rn+1（t）.

证明　设r（t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k.将r（t）的各分量按照带拉格朗日余项的泰勒公式展开就得到

若记

则有

利用x（n），y（n）和z（n）（t）的连续性就得到

对于用自然参数表示的曲线r=r（s），利用上面的引理可以得到

按照定义，切向量T（s0）与主法线向量N（s0）张成曲线在给定点的密切平面Ⅱ0.因为

所以

是在密切平面Ⅱ0上的点.我们看到，在给定点邻近，曲线离密切平面Ⅱ0的距离是高于二阶的无穷小量.在这个意义上，我们说：密切平面Ⅱ0是在给定点与曲线贴合得最紧密的一张平面.在曲线上任何一点，副法线向量是该点密切平面的法线，而这样，我们了解到挠率τ的几何意义：|τ|表示副法线向量B相对于弧长的转动速率，也就是密切平面相对于弧长的转动速率.因此，τ表示了曲线挠曲的程度（偏离平面曲线的程度）.

例3　设某段曲线r=r（s）上没有平直点，则这段曲线为平面曲线的充分必要条件是：在这段曲线上挠率处处为0，即τ=0.

证明　先证条件的必要性.设某段曲线r=r（s）在平面Ⅱ上，则

都在这平面上，于是B=T×N是常向量（垂直于平面Ⅱ的单位向量），因而

再来证明条件的充分性.设挠率则

因而B是一个常向量.考查函数

因为

所以

我们看到：曲线r=r（s）在平面

之上.□

推论对于平面曲线r=r（s），弗雷奈公式可以写成

2.d曲率与挠率的计算公式

如果曲线方程以弧长作为参数：

那么曲率与挠率的计算都比较简单.将r（s）对弧长参数s求导并利用弗雷奈公式整理求导的结果，我们得到

由此可得

在这里，我们用记号（u，v，w）表示向量u，v和w的混合积：

对于更一般的参数，我们有

因为

所以

于是，我们得到

由此得到一般参数曲线的曲率与挠率的计算公式：

2.e关于曲线运动的讨论

最后，我们利用本节得到的结果，考查质点的曲线运动.设运动质点的轨迹是曲线

这里的参数t是时间.将r（t）对时间参数t求导，就可求得运动的速度与加速度.运动的速度为

这里

是速度的数值——路程对时间的导数.运动的加速度为

这里k是运动轨迹的曲率ρ是曲率半径.

我们看到，运动的速度沿着轨迹曲线的切线方向，其数值等于ds/dt；运动的加速度分解为两个分量一切向加速度与法向加速度.切向加速度沿运动轨迹的切线方向，其数值为

法向加速度沿运动轨迹的主法线方向，其数值与速度的平方成正比，与曲率半径成反比：