三、不等式和不等式组

1．不等式的性质

（1）若，则；若，则，即．（对称性）

（2）若，且，则，即．（传递性）

（3）若，则，即．（平移性）

推论：．（叠加性）

（4）若且则，即；

　  若且则，即．（伸缩性）

推论1：．（叠乘性）

推论2：．（乘方性）

推论3：．（开方性）

2．解一元一次不等式

（1）去分母

不等式左右两边同时乘以或除以同一个正数，不等式的符号不变；不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等式的符号改变.

（2）去括号

括号前面是“＋”号，去掉括号，括号内的数符号不变；括号前面是“－”号，去掉括号，括号内的数改变符号.

（3）移项

不等式的两边同时加上或同时减去同一个数，不等号的方向不变.

（4）合并同类项

系数相加，字母部分不变.

（5）系数化为一

不等式左右两边同时乘以或除以同一个正数，不等式的符号不变；不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等式的符号改变.

【例】不等式的解集是______.

【答案】

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项得，所以解集为.

3．解一元一次不等式组

（1）求出不等式组中的每个不等式的解集；

（2）将每个不等式的解表示在同一条数轴上；

（3）在数轴上找出解集的公共部分.

①同大取大，例如，则解集为.

②同小取小，例如，则解集为.

③大小中间夹，例如，，则解集为.

④大大小小取空集，例如，，则解集为.

4．可化为一元一次不等式组的不等式

不等式中含两个（或两个以上）方向相同的不等号，可将不等式化为一元一次不等式组，再按照解不等式组的方法步骤解此不等式.

【例】解不等式：

解：原不等式可化为

 

由①得，由②得，则原不等式的解集为.

5．解一元二次不等式

（1）解不等式

①将原不等式化成一般形式；

②计算；

a．，则.

求方程的两根，原不等式的解集为.

b．，则.

求方程的两根，原不等式的解集为.

c．，则方程没有实数根.

抛物线与轴没有交点且在轴上方，原不等式的解集为R.

（2）解不等式

①将原不等式化成一般形式；

②计算；

a．，则.

求方程的两根，原不等式的解集为.

b．，则.

求方程的两根，原不等式的解集为.

c．，则方程没有实数根.

抛物线与轴没有交点且在轴上方，原不等式的解集为.

6．不等式解集的表示方法

（1）集合表示法

例如，解集可以表示成.

（2）区间表示法

①开区间

满足的x的集合称为开区间，记作；

②闭区间

满足的x的集合称为闭区间，记作；

③左闭右开区间

满足的x的集合称为左闭右开区间，记作；

④左开右闭区间

满足的x的集合称为左开右闭区间，记作；

⑤满足或的x的集合，记作；

⑥实数集R，记作.

（3）数轴表示法

①“”或“”朝右画，“”或“”朝左画；

②“”或“”在数轴上用实心，“”或“”在数轴上用空心.

例如，解集可以表示成

7．绝对值不等式

（1）解不等式（c＞0），相当于解ax＋b≥c或ax＋b≤－c（注意：这是两个一元一次不等式解集的并集），即首先去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式再求解.

（2）解不等式，相当于解，即（注意：这是两个一元一次不等式解集的交集）.

（3）当不等式中a＜0时，如，可先将其变形为，即先将绝对值号里面的各项改变符号，使x的系数变为正数，以便减少不必要的错误.

【例】解下列不等式：

（1）∣x－4∣＞7；

（2）∣3x－5∣＜8.

解：（1）原不等式可化为x－4＞7或x－4＜－7，所以原不等式的解集是x＞11或x＜－3，即（－∞，－3）或（11，＋∞）.

（2）原不等式可化为－8＜3x－5＜8，即－3＜3x＜13

所以原不等式的解集是－1＜x＜，即（－1，）.