2.1.1 模糊集的定义
模糊数学将经典数学的应用范围从清晰、精确的传统领域拓展到了模糊领域，相应的将经典集合理论也扩展为模糊集合理论。
定义2.1 已知论域U，在其上做映射A，有
A：U→[0，1]，u∈U
u→A（u），A（u）∈[0，1]
则称映射A是U上的一个模糊集，记作A，A（u）称为F集A的隶属函数（或称u对A的隶属度）。
约定：为方便，本书将模糊简记为F，论域U上的模糊集记为F集。论域U上的F集合的全体用F（U）来表示，本书中称其为模糊幂集，易知空集
与论域U都属于F（U）。
由上述定义不难看出，普通经典集合与F集合的差别主要就在于特征函数的值域取值范围，前者是离散集合 {0，1}，后者是连续闭区间［0，1］。因此可以认为F集是普通集的推广，而普通集是F集的一种特殊情况。
通常情况下，根据论域U中元素的个数不同分为有限论域与无限论域。有限论域U上的一个F集合A有如下几种表示方法：
（1）Zadeh表示法
（2）向量表示法
A=（A（u1），A（u2），…，A（un）） （2.2）
（3）序偶表示法
A={（u，A（u））u∈U，0≤A（u）≤1} （2.3）
如果U是无限论域，F集合A可表示为
A=∫A（u）/u （2.4）
注意：式中“/”不是通常的分数线，只是一种记号，它表示论域U上的元素u与隶属度A（u）之间的对应关系；符号“∑”及“∫”也不是通常意义下的求和与积分符号，都只是表示U上的元素u与其隶属度A（u）的对应关系的一种体现。
例2.1 设某学习小组共5人，用论域U={1，2，3，4，5}表示，现在对每个同学的性格稳重程度打分，按百分制打分再都除以100，则给定一个U到区间［0，1］间的映射，按照F集的定义可把“性格稳重程度”看作一个F集合A∈F（U），各值属于A的程度与其隶属度A（ui）如表2.1所示：
表2.1 性格稳重程度
请用F集的表示方式表示F集合A。
解：
A可用不同的方式表示为
（1）
（2）A={（0.85，1），（0.75，2），（0.98，3），（0.34，4），（1，5）}
（3）A=（0.85，0.75，0.98，0.34，1）
例2.2 在标志年龄［0，150］的实数轴上，标记出“老年人”和“青年人”的区间。故取论域U=[0，150]，F集合A与B分别表示“老年人”和“青年人”。给出他们的隶属函数（图2.1）分别为
图2.1 老年人与青年人隶属函数
请用F集的表示方式表示F集合A与B。
解：
说明：当u取50岁以下各年龄值时，A（u）=0，表示50岁以下不属于“老年人”这一集合；当u取值超过50岁，并逐渐增大时，对于“老年人”这一集合的隶属度也愈来愈大，如果u=70，有A（70）=0.94，表明年龄为70岁时属于“老年人”的隶属度已达94％。相应的，对于F集B的隶属函数B（u）也可类似地分析各取值的含义。