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第2章　测量误差及精度指标

知识点

一、误差的定义

把第i次观测中发生的偶然误差称为单一误差或个体误差，把它定义为观测值与相应的理论值之差：

误差=理论值-观测值

单一误差有两种形式：真误差和改正数。

（1）真误差

Δi=-Li　　（2-1）

若以被观测值的数学期望表示该观测值的真值，则　Δ=E（L）-L=-L。

（2）改正数

Vi=-Li　　（2-2）

需要说明：本书所讲内容属于经典平差范畴，因此，所说的误差即指偶然误差。

二、偶然误差的规律性

（1）有界性　在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；

（2）单峰性　绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；

（3）对称性　绝对值相等的正负误差出现的概率相同；

（4）抵消性　偶然误差的数学期望E（Δ）=0，即偶然误差的理论平均值为零。

三、衡量精度的指标

（1）方差和中误差　当观测次数n趋向无穷时，则理论值公式：

　　（2-3）

σ=　　（2-4）

实用中，观测次数n总是有限，则估计值公式：

= 　　（2-5）

=　　（2-6）

注意　本文中定义σ为非负值。

（2）平均误差

理论公式

　　（2-7）

实用公式（估值公式）

=　　（2-8）

注意　关系式θ≈0.7979σ，是平均误差θ与中误差σ的理论关系式；需要明白，当n取有限值时，该关系式有时不满足。

（3）或然误差　误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，即

　　（2-9）

注意　关系式ρ≈0.6745σ，是或然误差ρ与中误差σ的理论关系式；需要明白，当n取有限值时，该关系式有时不满足。

在实用上，因为观测值个数n是有限值，因此也只能得到ρ的估值，仍简称为或然误差。

或然误差求解方法：将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列。当n为奇数时，取位于中间的一个误差值作为；当n为偶数时，则取中间两个误差值绝对值的平均值作为。

（4）极限误差

Δ限=3σ　　（2-10）

当对观测质量要求高时，可取Δ限=2σ，但是得说明。

在大量同精度观测的一组误差中，误差落在（-σ，+σ），（-2σ，+2σ）和（-3σ，+3σ）的概率分别为

P（-σ，+σ）=68.3%

P（-2σ，+2σ）=95.5%

P（-3σ，+3σ）=99.7%

（5）相对误差　对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，分别丈量了1000m及80m的两段距离，观测值的中误差均为2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。如上述两段距离，前者的相对中误差为1/50000，后者则为1/4000。

相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为1，即用1/N表示。

四、精度、准确度与精确度

（1）精度　是指误差分布密集或离散的程度，其衡量指标包括很多，常用中误差。

（2）准确度　又名准度，是指随机变量X的真值与数学期望E（X）之差，即

ε=-E（X）　　（2-11）

即E（X）的真误差，这是存在系统误差的情况。衡量系统误差大小程度的指标是准确度。

（3）精确度　是精度和准确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差。

因此，精确度反映了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。当不存在系统误差时，精确度就是精度，精确度是一个全面衡量观测质量的指标。

精确度的衡量指标为均方误差，设观测值为X，均方误差的定义为

MSE（X）=E　　（2-12）

对于随机向量，则均方误差的定义为

MSE（X）=E［（X-）］　　（2-13）

五、Excel中常用的几个关于矩阵运算的函数

（1）矩阵求逆

“=MINVERSE（方阵）”：返回逆矩阵。

例如：求方阵A=的逆矩阵。

具体步骤如下：①打开Excel软件，在表格中输入方阵A，如图2-1所示，A的位置为“A2∶C4”；②选中A的逆矩阵A-1的位置：“D2∶F4”；③将光标移至编辑栏中，在编辑栏中输入“=MINVERSE（A2∶C4）”；④按组合键：Ctrl+Shift+Enter，然后就计算出了A-1，即A-1=。

图2-1　利用Excel计算逆矩阵

（2）矩阵相乘

“=MMULT（矩阵1，矩阵2）”：返回矩阵乘积。

例如：矩阵A=和B=，求它们的乘积：A×B。

具体步骤如下：①打开Excel软件，在表格中输入矩阵A和B，如图2-2所示，A的位置为“A2∶C3”，B的位置为“E2∶F4”；②选中A×B的位置：“A7∶B8”；③将光标移至编辑栏中，在编辑栏中输入“=MMULT（A2∶C3，E2∶F4）”；④按组合键：Ctrl+Shift+Enter，然后就计算出了A×B，即A×B=。