1.5 数值分析

1.5.1 微分

diff函数用于计算函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：

diff（f）传回f对预设独立变量的一次微分值；

diff（f， t ）传回f对独立变量t的一次微分值；

diff（f，n）传回f对预设独立变量的n次微分值；

diff（f， t ，n）传回f对独立变量t的n次微分值.

数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的参数决定执行数值微分或是符号微分的，如果参数为向量则执行数值微分，如果参数为符号表达式则执行符号微分.

先定义下列三个方程式，接着再计算其微分项：

1.5.2 积分

int函数用以计算函数的积分项，这个函数要找出一符号表达式F使得diff（F）=f.如果积分式的解析式不存在或MATLAB无法找到，则int传回原输入的符号式.相关的函数语法有下列4个：

int（f）传回f对预设独立变量的积分值；

int（f， t ）传回f对独立变量t的积分值；

int（f，a，b）传回f对预设独立变量的积分值，积分区间为[a，b]，a和b为数值表达式；

int（f， t ，a，b）传回f对独立变量t的积分值，积分区间为[a，b]，a和b为数值表达式；

int（f， m ， n ）传回f对预设变量的积分值，积分区间为[m，n]，m和n为符号表达式.

例1-13

1.5.3 求解常微分方程

用MATLAB求解常微分方程的语法是

dsolve（ equation ， condition ）其中equation代表常微分方程即y =g（x，y），且以Dy代表一阶微分项y ，D2y代表二阶微分项y＂，condition为初始条件.

假设有以下三个一阶常微分方程和其初始条件

1.5.4 非线性方程的实根

要求解任一方程的根有三个步骤：

1）先定义方程.要注意必须将方程化成f（x）=0的形式，例如一方程为sin（x）=3，则该方程应表示为f（x）=sin（x）-3，可以用m-file定义方程.

2）代入适当范围的x，y（x）值，将该函数的分布图画出，以便了解该方程式的图像.

3）由图中决定y（x）在何处附近（x0）与x轴相交，以fzero的语法fzero（ function ，x0）即可求出在x0附近的根，其中function是先前已定义的函数名称.如果从函数分布图看出方程的根不止一个，则需再代入另一个在方程的根附近的x0，再求出下一个根.

以下分别介绍几个方程，来说明如何求解它们的根.

例1-14 方程式为

sin（x）=0

求根方式如下：

r=fzero（ sin ，3）%因为sin（x）是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它，选择在x=3附近求根

r=3.1416

r=fzero（ sin ，6）%选择x=6附近求根

r=6.2832

例1-15 方程为MATLAB内建函数humps，我们不需要知道这个方程的形态如何，不过我们可以将它画出来，再找出根的位置.求根方式如下：

＞＞x=linspace（-2，3）；

＞＞y=humps（x）；

＞＞plot（x，y），grid%由图1-1可看出方程在0和1附近有两个根

＞＞r=fzero（ humps ，1.2）

图 1-1

例1-16 方程式为y=x.^3-2∗x-5

这个方程其实是个多项式，我们说明除了用roots函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果的异同.求根方式如下：

1.5.5 线性代数方程（组）求解

习惯将线性方程组以矩阵的方式表示如下

AX=B

其中 A为等式左边各方程的系数项，X为欲求解的未知项，B代表等式右边的已知项，要求解方程组，我们可以利用矩阵的左除\运算，即X=A\B.

如果将原方程式改写成

XA=B

其中 A为等式左边各方程的系数项，X为欲求解的未知项，B代表等式右边的已知项.

注意：上式的X，B已改写成行向量，A其实是前一个方程中A的转置矩阵.上式的X可以用矩阵的右除/运算求解，即X=B/A.

若以逆矩阵运算求解AX=B，X=B，即X=inv（A）∗B，或是改写成XA=B，X=B-1，即X=B∗inv（A）.

我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：

1.6 基本平面绘图命令

MATLAB不但适合用在矩阵相关的数值运算中，也适合用在各种科学可视化表示（Scien-tific visualization）中.本节将介绍MATLAB基本Oxy平面及Oxyz空间的各项绘图命令，其中包含一维曲线及二维曲面的绘制、打印及存档等应用.

（1）plot plot是绘制一维曲线的基本函数，但在使用此函数之前，我们需先定义曲线上每一点的x及y坐标.

例1-17 画出一条正弦曲线：

绘制结果如图1-2所示.

小整理：MATLAB中的基本绘图函数

plot：x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale）；

loglog：x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmi cscale）；

semilogx：x轴为对数刻度，y轴为线性刻度；

semilogy：x轴为线性刻度，y轴为对数刻度；

若要画出多条曲线，只需将坐标对依次放入plot函数即可.

plot（x，sin（x），x，cos（x））；

绘制结果如图1-3所示.

图 1-2

图 1-3

若要改变颜色，在坐标对后面加上相关字符串即可.

plot（x，sin（x）， c ，x，cos（x）， g ）；

绘制结果如图1-4所示.

若要同时改变颜色及线型（Linestyle），只需在坐标对后面加上相关字符串即可：

plot（x，sin（x）， co ，x，cos（x）， g∗ ）；

绘制结果如图1-5所示.

图 1-4

图 1-5

小整理：plot绘图函数的参数字符、颜色字符、线型如下：y黄色，.点，k黑色，o圆，w白色，xxb蓝色，++g绿色，∗∗r红色，-实线，c亮青色，：点线，m锰紫色，-.点虚线，--虚线

图形完成后，我们可用axis（[xmin，xmax，ymin，ymax]）函数来调整图轴的范围：

axis（[0，6，-1.2，1.2]）；

图轴范围调整后的效果如图1-6所示.

此外，MATLAB也可对图形加上各种注释与处理：

添加注释后的图形如图1-7所示.

图 1-6

图 1-7

（2）subplot

subplot用来在同一个视窗之中画出数个小图形：

绘制结果如图1-8所示.

（3）其他二维绘图函数

图 1-8

绘制结果如图1-9所示.

如果已知数据的误差量，就可用errorbar来表示.下例以单位标准差来做数据误差量：

绘制结果如图1-10所示.

对于变化剧烈的函数，可用fplot来进行较精确的绘图，对剧烈变化处进行较密集的取样.例如：

fplot（ sin（1/x） ，[0.020.2]）；%[0.020.2]是绘图范围

绘制结果如图1-11所示.

图 1-9

图 1-10

若要产生极坐标图形，可用polar：

绘制结果如图1-12所示.

图 1-11

图 1-12

对于大量的数据，我们可用hist来显示数据的分布情况和统计特性.下面几个命令可用来验证randn产生的高斯随机数：

x=randn（5000，1）； %产生5000个m=0，s=1的高斯随机数

hist（x，20）； %20代表方柱的个数

绘制结果如图1-13所示.

rose和hist很接近，只不过是将数据大小视为角度，数据个数视为距离，并用极坐标绘制表示：

x=randn（1000，1）；

rose（x）；

绘制结果如图1-14所示.

图 1-13

图 1-14

stairs可画出阶梯图：

x=linspace（0，10，50）；

y=sin（x）.∗exp（-x/3）；

stairs（x，y）；

绘制结果如图1-15所示.

stems可产生针状图，常被用来绘制数字信号

x=linspace（0，10，50）；

y=sin（x）.∗exp（-x/3）；

stem（x，y）；

绘制结果如图1-16所示.

图 1-15

图 1-16

stairs将数据点视为多边形的顶点，并将此多边形涂上颜色：

x=linspace（0，10，50）；

y=sin（x）.∗exp（-x/3）；

fill（x，y， b ）；% b 为蓝色

绘制结果如图1-17所示.

feather将每一个数据点视为复数，并以箭头画出：

compass和feather很接近，只是每个箭头的起点都在原点：

绘制结果如图1-18所示.

图 1-17

图 1-18