2.5 合成弯扭的强度计算

2.5.1 拉伸与弯曲组合变形的强度计算

有些构件承受拉伸（或压缩）与弯曲的组合变形，如钻床立柱（见图2.39）受到钻孔进刀力F作用，由于力作用线不通过立柱横截面中心，此时立柱受到轴向拉伸与弯曲的组合变形，简称为拉弯组合变形。现以钻床立柱为例来建立拉弯组合变形强度计算条件。应用截面法将立柱沿m-n截面处截开，取上半段为研究对象。由于上半段在外力及截面内力作用下平衡，故截面上有轴向内力FN和弯矩M，如图2.39（b）所示，根据平衡方程可得：

横截面上既有均匀分布的拉伸正应力，又有不均匀分布的弯曲正应力，各点处同时作用的正应力可以进行叠加，如图2.39（c）所示。截面左侧边缘的点处有最大压应力，截面右侧边缘的点处有最大拉应力，其值为：

式中，FN——横截面上的轴力（N）；

M——横截面上的弯矩（N·m）；

A——横截面面积（m2）；

Wz——抗弯截面系数（m3）。

由此可知，拉（压）与弯曲组合变形时的最大正应力必发生在弯矩最大的截面上，该截面称为危险截面。其强度条件为：

（2-21）

2.5.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算

1.弯曲与扭转组合变形的概念

工程机械中的转轴，通常发生弯曲和扭转变形。如图2.40所示电机轴，一端固定，一端自由，A端装有直径为D的带轮，轮上受到垂直拉力F和2F。将两拉力平移至轴心，得到力F'和附加力偶MT。

垂直于轴线的力使轴发生弯曲变形，力偶MT使轴发生扭转变形，电机轴这种既发生弯曲变形又发生扭转的变形，称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合变形。

2.应力分析及强度条件

为了确定转轴的危险截面的位置，必须分析轴的内力。分别画出轴的弯矩图和扭矩图，固定端A处为危险截面，其上的弯矩和扭矩值分别为：

式中，M——横截面上的弯矩（N·m）；

T——横截面上的扭矩（N·m）。

如图2.40（e）、（f）所示为A截面处的弯曲正应力与扭转切应力的分布情况：在C、E两点正应力和切应力分别达到最大值，所以这两点为危险点，此两点的弯曲正应力与扭转切应力分别为：

式中，Wz——抗弯截面系数，实心圆轴；

WP——抗扭截面系数，实心圆轴。

将圆轴弯扭组合变形的弯曲正应力和扭转切应力代入强度理论公式：

（2-22）

由于，上式可写成：

（2-23）

此式即为圆轴弯扭组合变形的强度条件。

3.强度计算

例2.12　如图2.41所示轴AB，在轴右端的联轴器上作用外力偶矩M，驱动轴转动。已知带轮直径D=0.5m，带拉力FT=8kN，Ft=4kN，轴的直径d=90mm，轴间距a=500mm，若轴的许用应力[σ]=50MPa，试校核轴的强度。

解：（1）外力分析。将带的拉力平移到轴线，画轴的受力简图，如图2.41（b）所示。

作用于轴上垂直向下的力F和作用面垂直于轴线的附加力偶矩M，其值分别为：

F与A、B处的支反力使轴产生平面弯曲变形，附加力偶M与联轴器上外力偶矩使轴产生扭转变形，因此轴AB发生弯扭组合变形。

（2）支反力FA、FB的计算。

∑MA=0，FB×2a-F×a=0，FB=6kN

∑Fy=0，FA+FB-F=0，FA=6kN

（3）内力分析。作轴的弯矩图和扭矩图，如图2.41（c）所示，由图可知轴的C截面为危险截面，该截面上的弯矩MC和扭矩T分别为：

（4）校核强度。由以上分析可知，C截面上、下边缘点是轴的危险截面，其最大相当应力为：

所以，轴的强度满足要求。