命题III.27

在相等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。

设：圆ABC等于圆DEF，其弧BC等于弧EF，∠BGC、∠EHF是分别以圆心G、H作出的角，∠BAC、∠EDF是圆周上的角。

求证：∠BGC等于∠EHF，且∠BAC等于∠EDF。

假设：如果∠BGC不等于∠EHF，其中一个较大。令，∠BGC为较大的角。在线段BG上和G点作∠BGK等于∠EHF（命题I.23）。

因为当角在圆心处时，等弧上的角相等，所以：圆弧BK等于圆弧EF（命题I.26）。

又，因为弧EF等于弧BC，所以：弧BK也等于弧BC，那么小等于大，这是不可能的。

所以：∠BGC不能不等于∠EHF。

所以：它们相等。

又，A点上的角是∠BGC的一半，且D点上的角是∠EHF的一半，所以：A点上的角也等于D点上的角（命题III.20）。

所以：在等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。

证完

注解

这一命题应用在卷3、4、6的几个命题中。