命题I.29

一条直线与两条平行线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。

设：直线ΕF相交于平行线AB、CD。

求证：内错角∠AGH与∠GHD相等，同位角∠ΕGB和∠GHD相等，同旁内角∠BGH和∠GHD互补。

假设：∠AGH不等于∠GHD，其中一个较大，设∠AGH是较大的角。用∠BGH与各角相加，于是∠AGH、∠BGH的和大于∠BGH、∠GHD的和。

而∠AGH、∠BGH互补（命题I.13）。

所以：∠BGH、∠GHD的和小于两个直角的和。

而同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线某一侧的两个内角之和小于二直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交（公设I.5）。

所以：AB、CD如果延长便会相交，因为它们是假定平行的。所以：∠AGH不能不等于∠GHD，即它们相等。

又，∠AGH等于∠ΕGB（命题I.15），所以：∠ΕGB等于∠GHD（公理I.1）。

令：∠BGH与各角相加。于是：∠ΕGB、∠BGH的和等于∠BGH、∠GHD的和（公理I.2）。

而∠ΕGB、∠BGH互补（命题I.13），所以：∠BGH、∠GHD互补。

所以：一条直线与两条平行线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。

证完

注解

本命题的陈述包含三个部分，其一是命题I.27的逆命题，另两个是命题I.28的逆命题。本命题假定了平面包含所有的三条直线。

本命题是依赖于平行公设的第一命题，但是在双曲线几何中，这一定理将失效。

本命题频繁地被应用在以后的命题中。