§2-8　轴向拉压杆的应变能

当物体在外力作用下发生弹性变形时，其内部将积蓄有能量。例如拧紧钟表发条时，发条发生变形，在放松复原过程中，它带动齿轮系和指针转动，此时发条作了功。这例子说明拧紧了的发条具有做功的本领，其内部必然积蓄有能量。通常将这种伴随着弹性变形而积蓄在物体内部的能量称为应变能。下面以轴向拉伸或压缩为例说明作用在弹性体上的外力所做的功与其内部所积蓄的应变能在数量上的关系。

设受拉杆件上端固定[图2-20（a）]，作用于下端的拉力缓慢地由零增加到F。在应力小于比例极限的范围内，拉力F与伸长Δl的关系是一条斜直线。如图2-20（b）所示，在逐渐加力的过程中，当拉力为F1时，杆件的伸长为Δl1。如再增加一个微小增量dF1，杆件相应产生的变形增量为d（Δl1）。于是已经作用于杆件上的F1因位移d（Δl1）而做功，且所作的功为

图　2-20

dW=F1d（Δl1）　（a）

显然dW等于图2-20（b）中画阴影线部分的微分面积。把拉力F看作是一系列dF1的积累，则拉力F所作的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F-Δl曲线下面的面积。因为在弹性范围内，F-Δl曲线为一斜直线，故有

根据功能原理，拉力F所完成的功应等于杆件所储存的能量。问题是杆件受拉时将引起哪几种能量的变化？变化数量是多少？对金属杆来说，拉伸或压缩自然也会引起热能的变化，但数量甚微，只占外力做功的极小部分，可以略去不计。其次，在缓慢加载的情况下，动能也无明显的变化。这样就可认为杆内只储存了应变能，且变性能的数量等于拉力F所做的功W，即

由虎克定律，Δl=，故

应变能的单位与功的单位相同，可用J（焦耳）表示，并且1J=1N·m

若在拉（压）杆的整个体积内，各点的受力是均匀的，则每一单位体积内储存的应变能都相同。以u表示单位体积应变能，称为能密度，利用公式（2-13）可得

能密度的单位为J/m3（焦/米3）