§1-4　内力与截面法

弹性体在外载荷（包括热载荷）作用下发生变形时，由于其内部各部分材料之间相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。可见，此处的内力是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的增量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力及变形密切相关。

通常采用截面法来显示和分析构件在外力作用下所产生的内力。如图1-4所示，欲求在外力作用下某一截面的内力，即此截面两侧的材料之间的相互作用力，可用一假想的截面沿此处将构件截开；取截面的任意一侧作为研究对象；将另一部分对此部分的作用用该截面上的内力来代替；由于整体平衡的要求，截开的弹性体的任意部分也必然是平衡的。对研究部分建立平衡方程，从而就能够根据此部分上的外力确定该截面上的内力。以上的过程可以用简单的四个字来概括：“截”、“取”、“代”、“平”。

根据材料的连续性假设，构件某一截面上的内力必然是连续分布的。因此根据静力学平衡方程只能得到这种分布内力的合力（偶）。显然，无论杆件某一截面上的内力分布如何复杂，总可向截面的几何中心简化，得到一主矢和主矩。习惯上将主矢分解为沿截面法线和切线方向的分量，将主矩分解为作用面与轴线方向平行和垂直的分量。下面通过一个具体的例子来说明截面法的应用。

【例1-1】　如图1-5（a）所示的构件受到两个外力的作用，外力的用线与轴线重合。试确定截面m-m上的内力。

解：沿拉杆[图1-5（a）]的任一横截面m-m假想地将杆截分为Ⅰ、Ⅱ两段，留下一部分例如Ⅰ，移去另一部分Ⅱ，并将移去的Ⅱ段对留下的Ⅰ段的作用以截开面上的内力来代替[图1-5（b）]。由于已对材料作了连续性的假设，所以在截面上将有连续分布的内力，今后称其为分布内力。在分析具体问题时，总是先要知道截面上分布内力的合力，故通常又将内力这一名词用来代表分布内力的合力。图[1-5（b）]中的力FN就是这里所说的内力。

对于Ⅰ段杆来说，截开面m-m上的内力FN已成为外力。由于整个拉杆处于平衡状态，因而其留下的Ⅰ段在已知外力F和内力FN的作用下也应保持平衡。所以，可以通过该部分的平衡方程

∑Fx=0，FN-F=0

得　　　　FN=F

FN即为杆任一横截面上的内力，其作用线和指向如图1-5（b）中所示。

由作用力与反作用力的关系可知，Ⅱ段杆在横截面m-m上也必然有轴力，其数值与上述的相同，而指向则与上述的相反[图1-5（c）]。这一结论也可以从Ⅱ段杆的平衡方程得到。

【例1-2】　钻床如图1-6（a）所示，工件对其的反作用力为F，试确定截面m-m上的内力。

解：（1）沿m-m截面假想地将钻床分成两部分。取m-m截面以上部分进行研究[图1-6（b）]，并以截面的几何中心O为原点。选取坐标系如图所示。

（2）为保持上部的平衡，m-m截面上必然有通过点O的内力FN和绕点O的力偶矩M。

（3）由平衡条件

∑Fy=0，　　F-FN=0

∑MO=0，　　Fa-M=0

得　　　　FN=F，　　　　M=Fa

容易看出，若取m-m截面以下部分进行研究

也是完全可以的，但是应先根据静力学平衡条件求出固定端处的约束力。此外这时求出的内力方向一定与前面求到的内力方向相反。这反映的是两者之间的作用力与反作用力的关系。