1.3 逻辑代数法则

逻辑函数遵循逻辑代数运算的法则。逻辑代数即布尔代数，是一种适用于逻辑推理，研究逻辑关系的主要数学工具。凭借这个工具，可以把逻辑要求用简洁的数学形式表示出来，另一方面可以方便地进行逻辑电路的分析和设计。

1.3.1 逻辑代数的基本规则和定律

一、基本运算规则

表1.3.1列出了逻辑代数的基本规则。

表1.3.1中，式（1）（2）（11）和（12）给出了变量与常量间的运算规则；

式（3）和（13）是同一变量的运算规律，也称为重叠率；

式（4）和（14）是变量与它的反变量之间的运算规律，也称为互补率；

式（5）和（15）是交换律，式（6）和（16）是结合律，式（7）和（17）是分配率；

式（8）和（18）是著名的摩根定律，也称为反演律，其实现了与运算与或运算之间的相互转换。该公式常用于逻辑函数的化简与变换；

式（9）是反原律，也称非非律，表明一个逻辑变量经过两次求反后还原成其本身。

这些公式的证明可以用列真值表的方法加以验证。如果等式成立，那么将任何一组变量的取值方式代入公式两边所得的结果应该相等。因此等式两边所对应的真值表也必然相等。

【例1.3.1】 用真值表验证表1.3.1中式（17）。

解：将 A、B、C 所有的可能取值组合代入式（17）的左右两边，得到式（17）的真值表如表1.3.2所示。

从表1.3.2可知，在每一种取值情况下，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。

二、常用的基本定律

表1.3.3中列出了几个常用的基本定律，这些定律都是由表1.3.1中的基本公式推导而来的，这些基本定律可直接用于逻辑函数的化简。

现证明表1.3.3中的基本定律。

式（21）:A+A·B=A

证明：左边=A+A·B=A(1+B)=A·1=A=右边。

结果表明在两个与项相或时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余项，可删除。

式（22）:

证明：左边右边

这一结果表明，两个与项相或时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消除。

式（23）:

证明：左边=

=AB+ABCD+

=AB(1+CD)+=右边

上式表明，若两个与项中分别包含A和A两个因子，而这两个与项的其余因子组成第三个与项时，则第三个与项是多余的，可以消去。

1.3.2 逻辑代数的基本定理

一、代入定理

代入定理，就是指在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑表达式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。

利用代入定理很容易把表1.3.1和表1.3.2中的常用公式推广为多变量的形式。

【例1.3.2】 将摩根定理推广为三变量的应用情况。

解：已知二变量的摩根定律之一为

现将（B·C）代入等式左边B的位置，于是得到

思考：如何将A+B=A·B推广为三变量的应用情况？

此外，在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需要遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的表达式，其次进行与运算，最后进行或运算。

二、反演定理

对于任意一逻辑式Y，若将其中所有的“· ”换成“+”,“+”换成“· ”,0换成1,1换成0，原变量换成反变量，反变量变成原变量，得到的结果就是。这就是所谓的反演定理。

反演定理主要应用于求已知逻辑表达式的反逻辑式。在使用反演定理时候还需注意以下两个原则：

仍需遵守“先括号、然后与、最后或”的运算优先次序；

不属于单个变量上的反号应该保留不变。

表1.3.1中的式（8）和（18）只不过是反演定理的一个应用特例，正是由于这个原因，摩根定律又称为反演律。

【例1.3.3】 已知Y=A（B+C）+CD，求。

解：

三、对偶定理

对偶定理就是指：若两个逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等。

对偶式就是指：对于任何一个表达式Y，若将其中的“· ”换成“+”, “+”换成“· ”, 0换成1,1换成0，得到一个新的表达式Y′，这个Y′就是Y的对偶式。例如：

若，则；

若，则。

根据对偶定理可知，要证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。例如：

试证明A+B·C=(A+B)·(A+C)。

解：首先写出等式两边的对偶式，即

A·(B+C) 和 AB+AC

显然这两个对偶式是相等的，也就是说需要证明的等式是成立的。

如果仔细分析表1.3.1可知，其中公式（1）和（11）、（2）和（12）、（3）和（13）、（4）和（14）、（5）和（15）、（6）和（16）、（7）和（17）、（8）和（18）均是互为对偶式，因此只要证明公式（1）到（8）成立，则公式（11）到（18）也是成立的。