2.2　线性回归分析的实验案例

例2.2　超市选址问题。某超市是一家连锁超市，为了确定一个连锁超市的最佳位置，决定建立回归模型描述各连锁超市的总销售量。每家连锁店的总销售量都是地理位置相关属性的函数，找到描述这种函数的方程，就可以选择下一个新的连锁店的位置。

由该问题出发，了解实际情况，理想的地址应该具备一些特点。首先是超市所处的位置，此外，某位置具有独特的属性也很重要。通过分析发现，实际上有3个主要因素决定销售量：超市附近的人口密度、附近居民的一般收入水平以及附近规模相当的超市的数量（可以视其为竞争对手）。

由该问题出发，最终确认解释变量为：

1. 竞争对手数（方圆2千米内的相近规模的超市数量）；

2. 人口数（方圆3千米内居住的人口数）；

3. 收入（居住地人口的平均收入水平）。

首先通过调研得到33组数据如下：

希望通过线性回归的方式来确定解释变量与被解释变量之间的关系。设竞争对手为x₁，人口数为x₂，月收入水平x₃。回归模型为

y＝β₀＋β₁x₁＋β₂x₂＋β₃x₃＋ε

应用SPSS软件进行运算，确定回归模型的参数，并进行参数检验等。

在进行回归分析之前，首先绘制散点图，观察数据的走势。选择菜单“图形（Graphs）→图标建立（Chart Buider）”，弹出“图标建立（Chart Buider）”对话框，选中“散点／点图（Scatter/Dot）”选项，并选择简单散点图（Simple Scatter），选中“营业额”到y轴坐标，“竞争对手”到x坐标，得到散点图2-2。

类似地，我们还可得到人口与营业额的散点图2-3及收入水平与营业额散点图2-4。

由上述三幅散点图可以看出，数据没有特殊的异常点，可以进行回归。

然后选择菜单“分析（Analyze）→回归（Regression）→线性（Linear）”以“营业额”为因变量，“竞争对手”“人口”“月收入水平”为自变量，进行回归，得到表2-2。

由模型汇总表中可知，R²＝0.617，调整后的R²＝0.578，可以接受。P<0.000。

由表2-3可知，回归的方程为

由Sig的数据（即P值）可知，几个回归系数均通过了检验。且系数的区间都不包含0点，符号是确定的。竞争对手的系数是负的。这说明竞争对手个数增加时，会导致营业额的下降；人口数和收入水平的系数都是正的，说明营业额会随着两个变量的增加而增加。这都是和实际相吻合的。

由线性统计量容差和VIF的数据可以看出，容差大于0.1，且VIF均小于10，判断选取的自变量之间不存在多重共线性的问题。

由表2-4可以看出，除竞争对手与人口数的相关性较强外，其他自变量之间的相关程度都可以接受。而竞争对手与人口两个指标的容差和VIF均显示不存在多重共线性，因此不对上述两个指标进行剔除。

例2.3　研究我国城镇居民家庭全年人均消费性支出的影响因素。

由问题出发，根据经济学基本知识，分析影响居民消费的因素有很多。居民的收入水平、消费价格指数、生活必需品消费、教育消费、医疗消费等。最终确认被解释变量为居民家庭平均每人消费性支出y，解释变量为：x₁食品消费、x₂服装消费、x₃居住消费居住、x₄交通消费、x₅通信消费、x₆教育消费、x₇医疗消费、x₈地区人均GDP、x₉地区消费价格指数及x₁₀地区失业率等。选取10个解释变量研究城镇居民家庭平均每人消费性支出y。

数据选取2013年版《中国统计年鉴》中30个省、市、自治区2012年的数据。以居民的消费性支出（单位：元）为因变量，上述10个变量为自变量进行多元线性回归。其中x₁～x₈的单位为元，x₁₀的单位为%。数据如表2-5所示。

通过线性回归的方式来确定解释变量与被解释变量之间的关系，运用SPSS软件实现。

选择菜单栏中的“分析（Analyze）”→“回归（Regression）”→“线性（Linear）”命令，弹出“线性回归（Linear Regression）”对话框。这既是一元线性回归也是多元线性回归的主操作窗口。多元回归模型涉及多个自变量，要在线性回归（Linear Regression）对话框左侧的候选变量列表框中选择多个变量，将其添加至自变量【Independent（s）】列表框中，即选择这些变量作为多元线性回归的自变量。

由表2-6可知：调整后的R²＝0.993，可以接受。P<0.000，线性模型的回归方程通过检验。

通过系数数据可以看出：食品、服装、居住、交通、教育等几个指标通过了显著性检验；常数项、通信、地区人均GDP、地区消费价格指数、地区失业率等几个指标没有通过显著性检验。

由已排除的变量可知医疗被排除在整个线性模型之外，并且模型的拟合进一步去除变量，首先去除医疗和地区人均GDP继续建立线性回归模型。

通过系数数据可以看出，还是有通信、地区消费价格指数、地区失业率没有通过系数检验没有通过显著性检验；再一次去除地区价格消费指数进行回归分析，还有通信、地区失业率没有通过系数检验没有通过显著性检验；再一次去除通信之后进行回归分析得到表2-10。

当显著性水平α取0.10时，回归方程通过线性检验，并且各系数通过检验，共线性统计量VIF的值均不超过10，不存在多重共线性。并且除常数项以外，各变量的系数符号没有发生改变含义明确。

最终的回归方程为

食品、服装、居住、交通、教育的变动和居民人均消费性支出之间是正向变动关系。例如，在其他变量的值保持不变的情况下，食品消费增加一个单位，消费性支出将增加1.356个单位。地区失业率与人均消费性支出之间是反向变动关系。当人均失业率提高一个百分比单位时，人均的消费性支出会下降240.473个单位。也就是说，当经济不景气的时候，人们的消费性支出会下降，人们会更多地保存现金，以备不时之需。

由分析可知，在众多因素的影响下，各个指标会因为有较强的相关性而导致相互影响，而经过几次的实验分析可知，医疗与居民的消费性支出之间的线性关系不明显。画出散点图如下：

由图2-5可以看出，医疗的消费与总消费支出之间的线性关系非常弱。这说明无论经济条件是什么样，医疗的消费都是刚性需求。而且无论居民的人均消费情况如何，医疗的费用都不会有非常大的变化。一般情况下，不会有人因为经济问题而选择看病或不看病，身体的健康状况决定了医疗消费的金额。