4.3 平面体系的计算自由度
结构体系要成为几何不变体系应满足两个方面的条件：①刚片间具有足够数量的约束；②约束的布置要合理。因此，体系能否具有几何不变性，要从这两个方面进行具体分析。
结构体系中约束的数量是否足够，可以根据其计算自由度进行判别。本节将主要针对计算自由度进行讨论。
4.3.1 平面体系的实际自由度与计算自由度
平面体系一般是由若干刚片加入一些约束与基础相连组合而成。所谓体系的实际自由度，是指体系中各刚片的自由度总和与必要约束总和的差值。所谓计算自由度，是指体系中各刚片的自由度总和与加入的约束数目总和之差，记为W。由前面的分析可知，多余约束不会影响体系的自由度变化，所以，计算自由度并不一定能反映体系的实际自由度，只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度才等于实际自由度。然而，在分析体系是否几何可变时，还是可以根据W判断总的约束数目是否足够。
4.3.2 平面体系的计算自由度
设一个平面体系中，刚片总数（不计入地基）为m，单铰数为h，支座链杆数为r，则其计算自由度W为
对于完全由两端铰结的杆件组成的体系，称为铰结链杆体系。这类体系的计算自由度，除可用式（4-1）计算外，还可用下面简便的公式来计算。设j为结点数，b为杆件数，r为支座链杆数，则其计算自由度W为
【例4-1】 试确定图4-6所示体系的计算自由度。
图4-6 [例4-1]图
解：图4-6（a）为一般杆件体系，按照式（4-1）进行计算，体系是由ACEF、BD、DF和CD 4个刚片组成。复铰D相当于两个单铰，C处和F处各有一个单铰，E处为固定支座，相当于三根链杆，故刚片数m＝4，单铰数h＝4，支座链杆数r＝6，则该体系的计算自由度为
故体系有两个多余约束。
解：图4-6（b）为铰结链杆体系，按照公式（4-2）进行计算，体系中A~G处都为一个结点，结点之间的连接为杆件，故结点数j＝7，杆件数b＝11，支座链杆数r＝3，则该体系的计算自由度为
4.3.3 计算自由度与体系几何不变性的关系
任何平面体系的计算自由度，按式（4-1）或式（4-2）计算的结果，将有以下三种情况：
（1）W＞0，表明体系缺少足够的约束，可以产生某种运动，该体系几何可变。
（2）W＝0，表明体系具有保证其几何不变所需的最少约束的数目。如果约束布置恰当，则体系几何不变；若约束布置不当，则体系几何可变。
（3）W＜0，表明体系具有多余约束，但体系是否为几何不变体系还要考虑约束的布置方式是否合理。
因此，一个几何不变体系必须满足W≤0的条件。有时不考虑支座链杆，而只检查体系本身（或体系内部）的几何不变性。这时，由于体系本身为几何不变的体系，作为一个刚片在平面内具有3个自由度，因此，体系本身为几何不变时必须满足W≤3的条件。所以，计算自由度W≤0（或只就体系本身W≤3），只是体系几何不变的必要条件，还不是充分条件。