2.5　随机场理论在土体抗剪强度指标统计中的应用

2.5.1　抗剪强度指标统计方法概述

众多学者对土体抗剪强度指标的相关性开展了研究。有些学者建议在指标统计时考虑自相关性；而对互相关性，则在计算过程中加以考虑。抗剪强度指标统计时可采用传统方法或高大钊提出的综合回归方法。传统方法即分组求出黏聚力c和内摩擦角的正切tanφ后再计算均值和子样方差，然后根据随机场理论求得均值方差；综合回归方法是在各试验样本独立条件下，将所有试验数据作为一个样本，一次求得两个指标的均值与均值方差。无论是采用传统方法还是综合回归方法，在实际应用中都有一定的困难。因为传统方法在由子样方差求均值方差时，必然要研究c、tanφ的自相关函数及互相关函数，这无疑增加了工作量；若采用综合回归方法，只有各抗剪强度试验子样相互独立时，回归得到的才是黏聚力和内摩擦角的均值方差。

1989年黄传志、孙万禾根据tanφ、c相关的概念考虑相关因素，提出了简化相关法。此法与现今港口工程地基规范采用的τ平均法是一致的。这种方法在假定tanφ、c独立的情况下，将两个土性指标的互相关性影响通过回归自动反映在子样方差中。因此，在进行土工可靠度计算时，就不用考虑指标间的互相关性。但是，这种方法没有考虑抗剪强度指标的自相关性。

2.5.2　抗剪强度指标的随机场统计方法

土是自然历史的产物，地质成因条件的影响使土的性质与位置有关。为了使模拟土体性质的概率模型更符合实际，有必要引入随机场理论，把土性指标看成是随空间位置而变化的一族随机变量，即在空间上分布的随机场。

本节首先以抗剪强度指标的传统统计方法为基础，引入随机场理论，提出抗剪强度指标按随机场统计的方法，使之不必分别研究c、tanφ的自相关函数及互相关函数，而是通过回归直接得到均值方差，使计算大为简化；同时，将随机场理论引入简化相关法和正交变换法，在抗剪强度指标统计时既考虑单个指标的自相关性，又考虑指标之间的互相关性，从而使土工可靠度计算更加合理、简便。

2.5.2.1　抗剪强度指标按随机场统计的传统法

将随机场理论引入抗剪强度指标的传统统计方法，在指标统计时考虑自相关性的影响。

首先取n（i＝1～n）组抗剪强度数据，每组数据对应k（j＝1～k）级荷载。即对某些特定的压力pj，j＝1，2，…，k，给出相应的若干组抗剪强度τ的试验值：τij，i＝1，2，…，n。按照摩尔强度包线：τ＝c＋pθ，这里为方便起见，记θ＝tanφ。

1.抗剪强度指标的均值统计

由前文所述随机场的基本理论可知，随机场的局部平均Yh（z）的均值和原来的随机场Y（z）的均值一样。所以，抗剪强度指标的均值按传统法、综合回归方法或简化相关法（τ平均法）统计均可，研究表明，这3种统计方法的均值相同。下面给出tanφ、c均值的计算公式：

式中：μtanφ为tanφ的平均值；μc为c的平均值；tanφi为每组试验的tanφ的回归值，tani为每组试验的c的回归值，ci＝μτi－μptani；μp为每组试验各级垂直压力pj（j＝1～k）的均值，为每一组试验（i＝1～n）各级压力（j＝ 1～k）下抗剪强度τij的平均值

2.抗剪强度指标的方差统计

设tanφ、c是平稳随机过程且是联合平稳的，则在［z，z＋h］上相应的随机积分分别为

对任一个确定的p值，有τ也是平稳过程，且

τh（z）＝ch（z）＋pθh（z）

取方差运算，得

式中：

分别为τ、c、θ的“点方差”；σcθ＝σθc为c与θ的“点协方差”；ρτ、ρc、ρθ分别为τ、c、θ的相关函数；ρcθ、ρθc分别为c和θ、θ和c的互相关函数。

通常按照传统方法，对任一个i，由（pj，τij），j＝1，2，…，k，可确定出一个ci和θi。因此从理论上说，由ci和θi，i＝1，2，…，n可确定σcθ、σθc及ρc（α）、ρθ（α）、ρcθ（α）、ρθc（α），进一步可得到方差函数（h）、（h）及协方差函数。这样做到了在抗剪强度指标统计时考虑自相关性，但要想在可靠度计算中考虑互相关性，就不可避免地要去研究互相关函数。这无疑会给计算增加许多工作量。

一般来说，实际问题中的z、h总是确定的，因此ch（z）、θh（z）就退化为随机变量。因此，从实用的角度考虑，可不必分别获得σcθ、σθc及ρc（α）、ρθ（α）、ρcθ（α）、ρθc（α），而只需根据式（2.5.3），直接回归得出（h）、（h）及（h）＋（h）就可用于可靠度的计算。

实际计算中，可先按照考虑自相关性的方法求出k个（h），然后利用数据［pj，（h）］，j＝1，2，…，k，按式（2.5.3）进行二项式的回归计算，这用计算机程序都很容易实现。

值得注意的是，在统计时，所用到的τij应该是修正过的值，即用每组回归出的ci、θi（i＝1～n），把每组数据τij（j＝1～k）都修正到τij＝ci＋Pjθi直线上去。认为每组数据都严格服从库仑定律，此时，式（2.5.3）才成立。

下面讨论如何求（h）。根据随机场理论，（h）可按式（2.2.3）求得。那么理论上首先要根据试验所得的特定压力pj下对应的抗剪强度τij，分别求出对应的相关距离δuj。但是考虑到这n（i＝1～n）组试验样本应来自于同一土层母体，因此用不同压力pj（j＝1，2，…，k）下对应的抗剪强度τij求得的相关距离值应该是相等的，即只有一个相关距离δu。进而利用式（2.2.3）求得的（h）也应该是相等的，即（h）＝。实际计算中，相关距离δu可近似地取为平均值，即

这种土性指标的随机场统计方法考虑了指标的自相关性，而互相关性可根据回归得到的）进一步在可靠度计算中考虑。

2.5.2.2　抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法

将随机场理论引入简化相关法（τ平均法），在考虑抗剪强度指标互相关性的同时，考虑自相关性的影响。

抗剪强度指标均值的统计与传统的统计方法相同，下面讨论方差的统计。在用JC法计算可靠度时，考虑将ch（z）、θh（z）作为独立的随机变量，因此式（2.5.3）可化为

比较式（2.5.3）及式（2.5.4），可以看出两个土性指标互相关性的影响可通过式（2.5.4）的回归自动反映在均值方差中。

先按照传统考虑自相关性的方法求出k个（h），然后利用数据，j＝1，2，…，k，按式（2.5.4）用最小二乘法进行回归计算，得到）和如下：

这样得到的和可作为相互独立的随机变量直接应用于可靠度的计算，而不必在可靠度计算中再考虑土性指标间互相关性的影响。

2.5.2.3　抗剪强度指标按随机场统计的正交变换法

港口工程地基规范中规定可靠度计算时也可采用正交变换法。此法通过正交变换，消除了tanφ与c之间的互相关性，使抗剪强度指标可直接应用于可靠度的计算。但是，此法仍未考虑指标的自相关性。下面将随机场理论引入正交变换法，使其在考虑抗剪强度指标自相关性的同时，消除互相性的影响。

与传统方法类似，首先利用数据，j＝1，2，…，k，按式（2.5.3）进行回归计算，得到

作变换：

c′h（z）＝ch（z）－Ps（h）θh（z）

θh（z）≡θh（z）

则易证c′h（z）与θh（z）是不相关的，且有

E［c′h（z）］＝μc－ps（h）μθ

E［θh（z）］＝μθ

式中：μc、μθ分别按式（2.5.1）和式（2.5.2）计算。

及

因此，抗剪强度指标c、tanφ的均值及均值方差可按以上4式统计。（h）的计算方法与上节相同。

2.5.3　地基承载力可靠度分析算例

以天津新港北港池地区的土质统计资料为基础，用随机场方法统计其抗剪强度指标，并对一长方形基础的地基承载力作可靠度分析，以进一步说明抗剪强度指标的随机场统计方法如何应用于可靠度计算。为便于比较，本算例同时采用了其他方法对土性指标进行统计，并根据不同的相关性考虑方式分别对地基承载力作可靠度分析。

2.5.3.1　计算条件

长方形基础长度L＝10m，宽度B＝4m，埋置深度D＝1m。基础上作用的有效垂直荷载pv＝150kPa，变异系数0.2。持力层最大深度Zmax＝6.0m。

2.5.3.2　土层强度统计特性

长方形基础以下0～6m为黏土层，此土层的容重变异性很小，为简化起见暂不考虑，取其均值为17.74kN/m3。采用固结快剪试验结果，试样间距0.5m，用相关函数法求得抗剪强度τ的相关距离为δτ＝0.395m。

滑动面最大切割深度约为4m，在此深度范围内对土性指标进行空间平均特性统计，各种统计方法得出的抗剪强度指标分别见表2.5.1～表2.5.3。

从表2.5.1～表2.5.3的抗剪强度指标统计结果可得到以下结论。

（1）各种统计方法得到的抗剪强度指标的均值近似相等（除正交变化法中的黏聚力）。

（2）若不考虑指标的自相关性，则原简化相关法与正交变换法统计的“点”标准差均小于传统法统计的“点”标准差，这是因为简化相关法和正交变换法都考虑了c、φ的互相关性。

（3）抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法和按随机场统计的正交变换法得到均值标准差都小于传统法统计的均值标准差，这也是因为考虑了指标的互相关性的缘故。

（4）抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法得到的标准差小于原简化相关法统计的“点”标准差；按随机场统计的正交变换法得到的标准差小于原正交变换法统计的“点”标准差。这是因为按随机场统计的简化相关法和按随机场统计的正交变换法都考虑了指标的自相关性，统计得到的是均值标准差。

2.5.3.3　地基承载力的可靠度计算

采用Hansen公式计算极限承载力，考虑的随机变量有竖直荷载pv，黏聚力c和内摩擦角φ。各随机变量都符合正态分布。极限状态方程为

式中：B为基础宽度；D为基础埋深；γ为地基土的容重，这3个参数都作为常量考虑；Nγ、Nq为承载力系数，是内摩擦角φ的函数；Sγ、Sq为与基础形状有关的系数；iγ、iq为与基础底面作用合力的倾斜率有关的倾斜系数；dq为与基础埋深有关的深度系数。

采用国际“结构安全度联合委员会”（JCSS）推荐的JC法计算可靠度指标β。JC法考虑了极限状态方程中各基本变量的实际概率分布，将功能函数在验算点处用泰勒级数展开并使之线性化，最后求解可靠度指标，是一种精度较高、较实用的近似概率分析方法。

JC法假定随机变量之间是相互独立的，本节提出的抗剪强度指标按随机场统计的简化相关法和按随机场统计的正交变换法在土性指标统计时就考虑了指标之间的相关性，所以可直接应用JC法计算可靠度指标。若抗剪强度指标按传统法统计，若要在可靠度计算中考虑指标间的互相关性，可采用改进的JC法。

根据上述不同方法统计的抗剪强度指标，按照土性指标相关性的不同考虑方式，分8种情形对本例中的地基承载力进行可靠度分析，结果见表2.5.4。

2.5.3.4　可靠度计算结果分析

根据表2.5.4中可靠度分析结果，可得以下结论。

（1）当采用传统的抗剪强度指标统计方法时，若既不考虑指标的自相关性，又不考虑指标的互相关性，则所得的可靠度指标偏小，失效概率偏大，达到1.65%。与传统的安全系数2.435相比，相差甚远，这在工程设计中是难以为人们接受的。

（2）当采用传统方法时，若分别考虑指标的自相关性和互相关性，则所得的可靠度指标都有一定的提高。相比较下，考虑抗剪强度指标的自相关性对可靠度指标的影响较之考虑互相关性要大一些。

（3）采用按随机场统计的传统法，在土性指标统计时考虑自相关性，在可靠度计算中考虑互相关性，得到的失效概率为0.026%，与传统的安全系数较为匹配。

（4）当不考虑土性指标的相关性时得到的失效概率比考虑相关性时得到的失效概率高了两个数量级，这是因为可靠度计算时土性指标采用的是子样方差，而不是空间均值方差，实际上这仅表示是地基中个别最薄弱点出现极限平衡的概率，而不是整体失稳事件出现的概率，没有反映工程的整体安全程度，不能作为失效控制的准则。

（5）原简化相关法及正交变换法只考虑了抗剪强度指标的互相关性，使计算所得的可靠度指标有一定提高，但仍偏小；按随机场统计的简化相关法及正交变换法既考虑了自相关性又考虑了互相关性，所得的失效概率最小，分别为0.013%和0.010%，与传统的安全系数相比，是较为合理的。

（6）上表中第4种情形和第6种情形及第8种情形（即提出的3种抗剪强度指标的随机场统计方法）计算所得的可靠度指标较接近，说明虽然这3种方法对相关性考虑方式不同，但所得结果较为一致，在工程应用中都是可行的。