第1章
不确定情景下的选择

资产定价理论旨在描述金融市场的平衡态。在此金融市场里，各个经济体通过互动来交易不确定的未来收益要求权。正如克里斯蒂安·戈利耶（Christian Gollier）在《风险和时间经济学》（The Economics of Risk and Time）一书中指出的，这里面的两个修饰词“不确定”和“未来”都是重要的，但在本章中，我们将回顾“不确定”情形下的基础选择理论，通过假设所有的不确定性都会在未来某个时点得以解决，而暂时忽略时间（即“未来”）对于选择的影响。这一章的探讨将引用Gollier（2001）和Ingersoll（1987）的研究。

在第1.1节里我们先简单介绍期望效用函数理论的基础原理。第1.2节将此期望效用函数理论应用于风险厌恶程度的度量和参与主体在风险厌恶程度的比较上。第1.3节讨论一类双曲线绝对风险厌恶（HARA）期望效用函数。由于这一类函数容易处理，人们都喜欢使用这类函数。第1.4节讨论对期望效用函数理论的一些批评，包括阿莱（Allais，1953）悖论和拉宾（Rabin，2000）批评。第1.5节展示如何比较不同分布函数的风险。

1.1 期望效用

标准微观经济学用序数效用函数来代表偏好。序数效用函数Υ（.）代表的是：如果Υ（x）=Υ（y），则参与主体对x和y的选择偏好一样，而如果Υ（x）>Υ（y），则x与y相比，主体更偏好x。任意一个严格单调函数都有相同的性质，所以用Υ（.）表示的偏好函数和用严格单调上升函数Θ（Υ（.））代表的偏好函数是等价的。换句话说，序数效用函数在单调上升变换中具有不变性。它定义了一个等价函数，但是无法用任何有意义的值来标识这个曲线。

一个基数效用函数Ψ（.）对于正仿射（线性增加）变换具有不变性，但不对非线性变换具有不变性。用Ψ（.）表示的偏好和用a+bΨ（.）表示的偏好函数在b>0下是等价的。换句话说，基数效用函数没有天生的单位，但是如果给定一个单位选择，基数效用函数的增长率是有实际意义的。

冯·诺伊曼-摩根斯坦（von Neumann-Morgenstern）的效用理论是资产定价理论的基石。该效用理论认为，在满足一定原理的情形下，参与彩票的选择意味着定义在结果上的基数效用函数期望值的最大化。

1.1.1 冯·诺伊曼-摩根斯坦的效用理论简介

在离散情境下，冯·诺伊曼-摩根斯坦的效用理论非常好理解。定义s=1…S，这里每一个s与集合X里的一个结果值xs相对应，不同结果的概率ps则定义了一个彩票问题。当S=3，我们可以在二维平面中画出概率（因为p3=1-p1-p2）。我们得到了Machina三角［Machina（1982）］，如图1.1所示。

我们来定义一个复合彩票问题。这个复合彩票的结果决定了我们将获得哪一个基础彩票。举例来说：一个复合彩票L就是以概率a的情形下获得彩票La，概率（1-a）的情形下获得彩票Lb。这样L的获奖概率等同于La+（1-a）Lb。

定义彩票的偏好排序为≥，那么一个人对于La和Lb没有偏好的数学表示：La~Lb，此公式当且仅当La≥Lb和Lb≥La时成立。

下面我们将两个原理应用于对彩票的选择问题上。

连续原理

对于所有La、Lb、Lc ，使得 La≥Lb≥Lc，则存在一个标量a∈［0，1］，使得下式成立：

（1.1）

这个原理表明，如果三个彩票可以根据偏好来（弱）排列，那么总能找到一个由排序最高和最低组合成的复合彩票。这个复合彩票与排序在中间的彩票对于购买人来说是等价的。这个原理意味着存在一个彩票选择偏好函数，也就是一个彩票基数效用函数，这个函数可以让我们在Machina三角上画出多个等价曲线。

独立性原理

对于所有可能的彩票Lc：

（1.2）

这个原理指出如果有两个彩票按选择偏好大小排序，那么存在两个复合彩票具有同样的排序。这两个复合彩票是由其中一个原始彩票和任意第三个彩票按相同权重组成的。

独立性原理意味着偏好函数在概率上是线性的。在Machina三角中，等价曲线是直线（见图1.1）。这就意味着给定一个概率（如p1）的提高，需要另一个概率（如p3）有相同幅度的提高，才能使得参与者与初始p1和p3概率水平具有相同偏好。

这样我们就可以定义一个标量us，对于每一个结果xs，使得下式成立：

（1.3）

这个标量us决定了Machina三角中线性等价曲线的斜率。因为总概率相加为1并且一个常数可以加到us上而不改变偏好排序，两个标量可以归一化（如把最小值设为0，最大值设为1）。

式（1.3）表示一个彩票可以通过与结果相连的标量us的概率加权平均来估值。我们称这些标量为“效用”。在每一个状态s中，概率加权效用us是随机变量“效用”的数学期望值。这个效用在状态s中值为us。所以我们明确地定义了一个基于结果的基数效用函数u（xs），而参与者偏好能够获得此函数更高预期效用的彩票。任一个对最小和最大值区间的归一化就对应于定义了基数效用函数的度量单位的两个参数a和b。

这种构造方法可以推广到处理连续状态情况。严格说来，推导出的效用函数必须有上下界限。但是这个要求经常被现代效用理论应用所忽视。

1.2 风险厌恶

现假设存在一个基数效用函数，由这个函数代表的参与主体的偏好是风险厌恶，我们想知道这种表述代表着什么意思。我们也将讨论风险偏好的量化度量。

为了尽可能清楚地展现主要思路，我们假设效用函数的变量是财富值。这就相当于考虑一个单消耗品下的静态双时间周期模型。在第二个周期里，当不确定性变得确定时，所有的财富都将被变卖并且消耗掉。在后面的章节中，我们将讨论更复杂的可以在多周期消耗的模型，有些模型中还考虑有多个可消耗品。

为简单起见，我们在全文中使用弱条件下的非等价和偏好排序情景。而把弱条件下的结论推广到强非等价和偏好排序情形下也是比较容易的。

1.2.1 詹森不等式和风险厌恶

一个重要的数学结果——詹森（Jensen）不等式，可以将风险厌恶概念和效用函数的凹性性质连接起来。我们先来定义一个函数f的凹性。

定义 当且仅当是一个凹性函数时f对于所有λ∈［0，1］和值a、b：

（1.4）

如果f是二次可微的，那么凹性表明f ″≤0。图1.2展示了一个凹性函数。

需要注意的是因为不等性在上面定义中是弱不等，一个线性函数也是一个凹性函数。强凹性要求强不等式，并不包括线性函数。以下我们使用的是弱凹性概念。

现在考虑一个随机变量。詹森不等式声明：对于所有可能的值，当且仅当f是凹性时：

（1.5）

由丹麦数学家和电话工程师詹森发现的这个理论在金融领域里面非常有用，以至于可以将其命名为“经济学的詹森不等式”。作为这个理论的第一个应用，我们用它来证明风险厌恶和效用函数凹性是等价的。

定义 如果一个参与者无论自己的财富多少都不喜欢（非严格）所有均值为0的风险，那他就是风险厌恶的。也就是说，对于初始财富水平W0和E=0的风险：

（1.6）

为了证明风险厌恶和效用函数的凹性是等价的，我们可以简单地改写一下风险厌恶的定义：

（1.7）

其中，=W0+，并且应用了詹森不等式。

因为风险厌恶是具有凹性的，而凹性限制了效用函数的二次导数符号（假设导数存在），非常自然地可以用这个二次导数u″构建一个风险厌恶的可量化的度量函数，这个函数通过调整大小可以避免对于度量效用单位的依赖性。绝对风险厌恶系数A（W0）可以定义为：

（1.8）

从上式的标注可以明确地知道，一般来说这是一个依赖于初始财富水平变量的函数。

1.2.2 风险厌恶比较

假设两位投资者的效用函数分别是u1和u2，他们的初始财富相同。当买彩票会降低期望效用时，即初始财富加上买彩票带来的支出和收入所获得的期望效用低于初始财富的效用时，投资者将不会购买彩票。在这里我们继续使用弱不等式，那么在买彩票带来的期望效用与初始财富的效用水平相当的时候，投资者也会选择不购买彩票。

定义 无论共同的初始财富水平是多少，当u1拒绝购买所有u2不会购买的彩票时，u1比u2的风险厌恶水平更高。

很多效用函数无法用这种方式进行排序，因为在给定初始财富水平下，两个投资者很有可能在购买彩票上意见相左：当一个投资者愿意购买某种彩票时，另一个投资者不愿购买，反之亦然。并且，初始财富水平的高低也有可能影响他们的决定，导致在低初始财富水平下，第一个投资者拒绝购买第二个投资者不购买的所有彩票，而在高初始财富水平下，第二个投资者拒绝购买第一个投资者不购买的所有彩票，两人角色互换。

当u1比u2更加风险厌恶时，什么情况还会发生呢？为了回答这个问题，先让我们定义一个函数：

（1.9）

这个函数有三个重要的性质：

（1）u1（z）=Ø（u2（z）），Ø（.）将 u2 变成u1。

（2）u′1（z）=Ø′（u2（z））u′2（z），Ø′=u′1/u′2＞0。

（3）u″1（z）=Ø′（u2（z））u″2（z）+Ø″（u2（z））u′2（z）2，于是：

（1.10）

性质（2）由性质（1）求导得到，性质（3）由性质（2）求导得到。在这个领域中，这种方法（通过反复求导得到对导数的限制条件）经常被使用到。

性质（3）非常重要，通过它我们可以知道，Ø（x）的凹性（即Ø″≤0）与投资者1的更高风险厌恶（即A1≥A2）等价。

现在，让我们考虑一个被u2拒绝的风险组合，即一个满足条件Eu2（W0+）≤u2（W0）的风险组合。如果u1比u2更加厌恶风险，那么一定有Eu1（W0+）≤u1（W0）。利用函数Ø（.）我们得到：

（1.11）

同时因为Ø′>0，推出：

（1.12）

由此可知，u1比u2更加厌恶风险的一个必要条件是，对于所有的，都有：

（1.13）

根据詹森不等式，这等价于函数Ø（x）的凹性，即Ø″≤0。

综上所述，我们证明了如果一个投资者比另一个投资者更加厌恶风险，那么这个投资者的效用函数是另一个投资者效用函数的凹转换，并且在任意初始财富水平下的绝对风险厌恶系数都更高。我们也已经证明了如上命题的逆命题。

这些概念和投资者愿意为规避一个期望值为0的风险组合所付出的财富相关。

定义 风险溢价π（W0，u，）是指，初始财富为W0，效用函数为u的投资者为规避风险（假设期望值为0）愿意支付的最大财富。

以上定义可以用更简单的公式表达出来，即π可以通过求解以下公式得到：

（1.14）

定义z=W0-π和=π+，则该公式可改写为：

（1.15）

现在定义投资者2的风险溢价为π2，并相应地定义z2和2，我们有：

（1.16）

如果u1比u2更加厌恶风险。那么：

（1.17）

这意味着π1≥π2。反过来推导也成立，π1≥π2意味着u1比u2更加厌恶风险。

上述分析可以拓展到一个有着非零期望值μ的风险。这个风险组合的回报为μ+，其中期望为0。

定义 风险组合的确定性等价Ce满足：

（1.18）

也就是说：

（1.19）

所以，如果u1比u2更加风险厌恶，那么Ce1≤Ce2。同样，其逆命题也成立。

总的来说，以下说法是等价的：

利用上述思想，我们还可以探究单个投资者的风险厌恶程度是如何随着财富水平的变化而变化的。我们很自然地认为，富人会比穷人更不在意给定的绝对风险，并愿意为规避该风险支付更少的钱；或者说，对任意风险而言，风险溢价会随着初始财富W0的增加而递减。可以证明以下条件是等价的：

绝对风险厌恶递减从直觉上来说比较合理，而绝对风险厌恶递增显然让人难以接受。

1.2.3 阿罗-帕拉特测度

在前一节中，我们通过隐函数定义了风险溢价和确定性等价，即式（1.14）和式（1.18）的解。阿罗（Arrow，1971）和帕拉特（Pratt，1964）分析指出，当风险很小的时候，这些等式可能有近似的封闭解。

考虑一个期望值为0的风险=k，其中k是比例因子。将风险溢价写为k的一个函数，g（k）=π（W0，u，k）。通过风险溢价的定义可知：

（1.20）

注意，这里g（0）=0，因为不会有人愿意为规避确定性风险付出成本。

利用前面章节介绍过的反复求导的方法，我们反复对k求导。对式（1.20）求导后得到：

（1.21）

当k=0时，式（1.21）的左边变为E［u′（W0）］=E［］u′（W0），能将u′（W0）提到期望值外面来是因为这是一个确定值。鉴于E［］=0、k=0时，式（1.21）的左边为0，所以右边也一定为0，即g′（0）=0。

现在我们对k做第二次差分，得到：

（1.22）

则：

（1.23）

现在用泰勒展开对g（k）在k=0附近求近似：

（1.24）

将前面推出的值代入其中，得到：

（1.25）

风险溢价与风险的平方成一定比例。可微分效用函数的这种性质被称为二阶风险厌恶。这意味着人们对于很小的风险（并且通常是指与他们面临的其他风险相独立的小风险）是近乎风险中性的。溢价与风险平方间比例系数是绝对风险厌恶系数的一半，所以我们有了将风险溢价与风险规模和风险厌恶程度相联系的定量预测。这一结果是现代量化研究的基础。

对确定性等价也可以应用相似的分析。结果为：

（1.26）

这表明对小的风险而言，风险回报的均值μ对确定性等价有着显著的影响。

在金融领域，风险的效果通常是做乘法而不是做加法。换句话来说，当投资的财富增加时，风险的绝对水平是成倍增加的。我们前面所说的理论通过简单的修改就可以适用于这种情况。定义一个乘法性质的风险=W0（1+k）=W0（1+。定义为一个人为了避免该风险愿意付出的财富比例：

（1.27）

那么：

（1.28）

其中，R（W0）=W0A（W0）被称为相对风险厌恶系数。

1.3 几个易处理的效用函数

几乎所有金融领域的理论应用和实证研究都会用到几种线性风险容忍（LRT）或双曲线绝对风险厌恶（HARA）的函数。在效用函数中继续将财富水平作为一个讨论对象，则HARA效用函数族可以写为：

（1.29）

根据满足η+W/γ>0的不同财富水平W进行定义。参数a和参数b的大小不影响投资者的选择，可以根据特殊情况自由选择参数大小以方便代表投资者效用。

对这些效用函数，风险容忍度，即绝对风险厌恶的倒数，定义为：

（1.30）

风险容忍度对W线性。绝对风险厌恶自身是W的双曲线：

（1.31）

显然，相对风险厌恶是：

（1.32）

HARA效用有几种重要的特殊形式。

二次效用函数 γ=-1。这意味着根据式（1.30），风险容忍度随财富递减；根据式（1.31），绝对风险厌恶随财富递增。此外，u′=0时二次效用函数有餍足点。这些是重要的缺点，虽然二次效用在具有可加性风险的模型中方便使用，甚至已被使用在具有增长的宏观经济模型中，这些模型使用趋势偏好参数保持餍足点远远高于数据中观察到的财富或消费水平。

指数效用函数或恒定绝对风险厌恶（CARA）效用函数 γ→―∞。为了获得恒定绝对风险厌恶A，我们需要对所有的W＞0都有：

（1.33）

解这个微分方程，得到：

（1.34）

其中，A=1/η。这个效用函数没有餍足点，但有上边界；随着财富的增加，效用趋近于零。指数效用函数通常适用于正态分布的风险，因为效用是对数正态分布的。另外，正如我们将在下一章中看到的，在这种效用函数中，财富对风险资产的需求没有影响，这使得计算均衡相对容易，因为人们不必再跟踪财富分配。

幂效用函数或恒定相对风险厌恶（CRRA）效用函数 η=0及γ>0。绝对风险厌恶随财富值递减——这是一个理想的性质——而相对风险厌恶R（W）=γ，为常量。对γ≠ 1而言，可以选择a和b的值将式（1.29）中的效用写作：

（1.35）

对γ=1而言，我们用洛必达法则（L'Hôpital's rule）对式（1.35）取γ趋近于1的极限。结果是：

（1.36）

幂效用函数具有吸引力，因为它意味着即使有长期经济增长，也存在固定的风险溢价和利率，并且在存在乘法性质的对数正态分布风险的情况下也易于处理。由于这些原因，它是资产定价和宏观经济学文献中的主力模型，我们将在本书中对此进行深入研究。对数效用函数的特殊情况具有更加方便的特性，但相对风险厌恶程度低到难以与金融市场中观察到的实质风险溢价相协调，我们将在第6章中讨论这一点。

维持生计水平（subsistence level）。负η表示维持生计水平，即定义效用函数所需的最低消费水平。Litzenberger和Rubinstein（1976）提出了一个模型，其中对数效用的财富水平高于维持生存水平，我们称之为广义对数效用模型。该模型没能吸引足够的注意，或许部分原因是经济增长使得任何固定的维持生计水平在长期内变得无关紧要。第6章讨论的习惯养成模型具有随时间变化的维持生计水平，可随经济增长而增长。

1.4 期望效用理论批判

1.4.1 阿莱悖论

阿莱（Allais，1953）提出的著名悖论挑战了冯·诺伊曼-摩根斯坦理论框架。假设有一组彩票，每个彩票都是从包含100个标记为0~9的球的瓮中抽出一个球。表1.1显示了在4个不同的彩票La、Lb、Ma和Mb中抽中每个球所能获得的奖金。

彩票La提供50美元的确定奖金，而彩票Lb有89%的概率能中50美元，10%的概率能中250美元，1%的概率没有任何奖金。面对这种选择，许多人相较Lb更喜欢La，尽管彩票Lb的预期奖金更高。彩票Ma有11%的概率赢得50美元，89%的概率得不到任何收益，而彩票Mb有10%的概率赢得250美元，90%的概率什么也得不到。面对这种选择，许多人相较于Ma更喜欢Mb。

对效用理论的挑战是选择La而不是Lb，同时选择Mb而不是Ma，这违反了独立性公理。通过表1.1可以看到，La和Lb之间的唯一区别在于标记为0~10的球；标记为11~99的球在这两个彩票中是相同的；Ma和Mb也是如此。根据独立性公理，绘制球11~99的奖励应该与La和Lb，以及Mb和Ma之间的选择无关。但如果是这种情况，那么两个选择应该相同，因为如果只考虑球0~10，则La具有与Ma相同的奖励，并且Lb具有与Mb相同的奖励。

关于这一悖论，人们争论已久。要么是人们容易被误导（但可以通过教育矫正），要么需要放弃独立性公理。放宽这个公理必须小心谨慎，以避免产生进一步的悖论［Chew（1983），Dekel（1986），Gul（1991）］。^[1]最近的动态决策模型，特别是本书第6.4节中讨论的爱泼斯坦- 兹恩偏好(1989，1991), 在跨时间的情况下放宽独立性公理，谨慎处理以保持时间一致决策。

1.4.2 拉宾批评

拉宾（2000）批评了效用理论，理由是它不能解释人们对小型赌博表现出明显的厌恶，却对大型赌博没有极其强烈的厌恶情绪。这是因为可微效用具有二阶风险规避。

要理解拉宾批评，可以假设一场赌博，能以1/2的概率赢得11美元，并以1/2的概率输掉10美元。随着边际效用递减，胜利的效用至少为11u′（W0+11）。损失的效用成本最多为10u′（W0-10）。因此，如果一个人拒绝这个赌博，我们必须有10u′（W0-10）>11u′（W0+11），这意味着：

现在假设这个人在W0+21的初始财富水平上拒绝同样的赌博。那么：

结合这两个不等式：

如果进行重复迭代，那么会在高财富水平上得到极小的边际效用，这将导致人们拒绝显然极具吸引力的赌博。

表1.2摘自拉宾（2000）的表I，原注释为“如果对所有财富水平，拒绝在50-50概率上输100美元/赢g的赌博，也将拒绝在50-50概率上输L/赢G的赌博； G的值在表中给出”。g值为列标题，L值为行标题，而表格的单元格表示G。换句话说，每向右移动一列时，一个参与者就会拒绝更多有利可图的小型赌博；每向下移动一行时，都对应一个更大的可能损失；而单元格中是引诱参与者下注所需的奖金。∞意味着他将拒绝最高奖励为任何有限数值的赌博，无论奖励有多大。

第一个显而易见的问题是，参与者如何能够对任意大的奖金没有反应，拒绝承担有限损失的风险。这个问题将作为非正式练习，并将在本章末尾回答。作为提示，表1.3摘自拉宾（2000）的表II。这个表与表1.2的唯一区别在于，这里的数字都限定于特定的初始财富水平（290 000美元），而表1.2中对50-50概率损失100美元 / 赢得g的赌博的厌恶被认为仅适用于高达300 000美元的财富水平。

1.4.3 一阶风险厌恶和前景理论

拉宾批评表明，预期效用的标准理论无法解释在很大范围的财富水平上对小型赌博的风险规避。在任意财富水平上，人们可以通过放宽效用是二次可微的假设来增加对标准理论中的小型赌博的厌恶，允许效用函数中的突兀点使式（1.25）中给出的风险溢价的标准公式无效。这种突兀点使得风险厌恶局部无限，并使得小型赌博的风险溢价与其标准差而非其方差成正比；与二次可微效用相应的“二阶”风险厌恶相比［Segal和Spivak（1990）］，这被称为“一阶”风险厌恶。然而，这种方法只会在单点上增加小型赌博的厌恶，而如果一个参与者反对一系列财富水平下的小型赌博，拉宾的论证（不假设效用函数的二次可微性）仍然适用。

为此，经济学家和心理学家已经探索了具有参考点的模型，其中效用来自相对于参考点的收益或损失，该参考点通常设定为等于当前财富。这使得效用函数中的突兀点可移动，让它始终发挥作用并且在任意初始财富水平处导致一阶风险厌恶。

最著名的例子是卡尼曼（Kahneman）和特沃斯基（Tversky）在1979年提出的前景理论，它不仅在参考点上存在拐点，而且有两个其他特征符合对风险态度的实证证据：偏好函数在获得收益时为凹，在遭受损失时为凸（风险爱好），以及当概率很小时，主观概率大于客观概率。前景理论偏好函数的标准参数化是：

（1.37）

其中，x=W-WREF，表示财富与参考财富水平之间的差异。我们假设0<β<1来确定遭受损失时的凸度和获得回报时的凹度，并且λ>1，以在参考点处产生突兀点。Gul（1991）中令人失望的厌恶偏好也将参考点附近突兀点设置为赌博的内生确定性等价［Backus、Routledge和Zin（2004）］。

Barberis、Huang和Thaler（2006）指出，即使存在这些偏好也不能对小的延迟赌博产生实质性的厌恶。在决定进行赌博和结果尘埃落定之间的时间段内，参与者将面临其他风险，并将这些与正在进行的赌博合并。如果赌博与其他风险不相关，那就是分散化的。实际上，对于延迟赌博，参与者将具有二阶风险规避。为了解决这个问题，Barberis等人争辩说人们独立地对待每一个赌博，也就是说，他们“目光狭隘”。

在本书中，我们将继续使用标准效用函数，尽管它们无法解释对小风险的厌恶。这也是我的观点，即该理论对于资产定价问题是有用的，与拉宾（2000）承认它“很可能是极大规模保险选择的有用模型”一致。有人可能会以物理学类比，其中重力在宏观角度上极为重要，尽管在亚原子尺度上其他种类的力变得更为重要，而重力变得可以忽略不计。

最后，值得注意的是，可以扩展预期效用理论，以得到对中等规模和大规模风险的厌恶差异。尤其是，Chetty和Szeidl（2007）表明，“消费承诺”（用于调整消费比例的固定成本）相对于大型赌博提高了对中型赌博的风险厌恶，而大型赌博的极端结果被认为支付调整消费所需的成本是值得的。

1.5 风险比较

前述我们讨论了效用函数的比较，特别是两个效用函数可以在其风险厌恶程度上排名的情况，其中一个拒绝了另一个拒绝的所有彩票，而不管风险的分布情况如何。现在我们进行对称分析，比较两种不同分布的风险，而不对效用函数做除了凹度的任何假设。

1.5.1 比较具有相同均值的风险

在本节中，我们考虑两个具有相同均值的分布。通俗地说，有三种自然而然的方法来定义一个概念，即这些分布中的一个比另一个更具风险：

罗思柴尔德（Rothschild）和斯蒂格利茨（Stiglitz）在1970年的经典分析表明，这些陈述都是等价的。

考虑随机变量和，它们有相同的期望。

（1）如果相对于而言，没有具有递增凹效用函数的个体更偏好，则的风险弱低于：

（1.38）

对于所有的递增凹效用函数u（.）都成立。如果风险弱低于，并且有一些递增凹函数u（.）相对于严格偏好于，则的风险低于（无严格限制条件）。

请注意，这是偏序。并不是说对于任何和，要么的风险弱低于，要么的风险弱低于。如果我们将讨论范围限制在比凹效用函数范围还要小的一系列效用函数（例如二次曲线）内，我们就可以得到全序。

（2）如果通过运用一个均值保留展开式（MPS）可以从的密度函数获得的密度函数，则的风险小于。一个MPS s（x）被定义为：

（1.39）

其中，α，β，t> 0; c + t <c′<c′+ t <d <d + t <d′；并且α（c′-c）=β（d′-d）；也就是说，“移动的物体质量越大，移动的距离就越小”。如图1.3所示。

MPS是你添加到密度函数f（x）的东西。如果g（x）=f（x）+s（x），则：①g（x）也是密度函数；②它具有与f（x）相同的均值。

①显而易见，因为∫s（x）dx是s（x）=0以下的面积。

②遵循一个事实，即s（x）的“均值”，∫xs（x）dx=0，这又可以由α（c′-c）=β（d′-d）推出。代数过程为：

（1.40）

在什么意义上MPS是一种差值呢？显然，如果f（x）的平均值在c′+t和d之间，那么g（x）在尾部具有更多的权重。在图1.3中，当f（x）的平均值远离左侧或右侧时，这不是那么明显。然而，我们可以证明，从（1）的角度来说，具有密度g的比具有密度f的风险更大。在这个意义上，术语“差值”是合适的。

我们计算和之间的预期效用差异为：

（1.41）

MPS的定义意味着β/α=（c′-c）/（d′-d）。另外，对于一些在z和z+h之间的z*而言，u（z+h）-u（z）=u′（z*）h。

因此，对于z和z+c′-c之间的z*1而言：

（1.42）

并且，对于z+d-c和z+d′-c之间的z*2而言：

（1.43）

替换进式（1.41），我们得到：

（1.44）

其中，不等式成立，因为z*1<z*2导致u′（z*1）> u′（z*2）。

（3）一个正式的关于“增加噪声”的定义是，如果具有与+相同的分布，其中对于X的所有值，E|X］=0，则的风险小于。我们说是关于的“公平游戏”。

公平游戏条件强于零协方差，Cov（，）=0，比对所有函数f和g都有两函数独立且Cov（f（），g（））=0的条件要弱。它等价于对所有函数g都有Cov（，g（））=0。为增进对这一点的了解，本章末尾的习题1.1要求构建随机变量和的例子，要求这些变量具有零协方差但不满足公平游戏条件，或满足公平游戏条件但并不独立。

很容易证明增加的噪声足以使凹的效用函数不喜欢得到的分布，即（3）隐含着（1）：

（1.45）

因为和+有同样的分布。

罗思柴尔德和斯蒂格利茨证明条件（1）、（2）和（3）都是等价的。这是一个很重要的结论，因为在特定应用中，其中一个或另一个条件可能最有用。

这些条件都不等价于具有比更大的方差。从（3）可以明显看出，如果比风险更大，则的方差大于。问题在于，反过来一般都不正确。更大的方差是增加风险的必要不充分条件。可以具有比更大的方差，但是如果它具有更好的高阶矩特性，则仍然会被一些凹的效用函数所偏好。只有当我们将注意力集中在有限类别的分布（例如正态分布）上，才能消除这种可能性。

1.5.2 比较具有不同均值的风险

罗思柴尔德-斯蒂格利茨条件仅适用于具有相同均值的分布。然而，它们直接拓展到在罗思柴尔德-斯蒂格利茨意义上更有风险的分布向下移动并具有较低均值的情况。一些简短的定义说明了这一点。

定义 如果=+，其中≤0，则（一阶）优于。在这种情况下，的每个结果至少与的相应结果一样大。

定义 如果具有+的分布，其中≤0，则一阶随机优于。同样，如果F（.）是的累积分布函数，并且G（.）是的累积分布函数，那么假如对于每个z都有F（z）≤G（z），就有一阶随机优于。在这种情况下，分布的每个分位数至少与分布的相应分位数一样大，但是的特定结果可能超过的相应结果。一阶随机占优意味着每个递增的效用函数都会更偏好分布。

定义 如果具有++的分布，其中≤0并且E[|X+ξ]=0，则二阶随机优于。二阶随机占优（SOSD）意味着每个递增凹效用函数将更偏好分布。增加风险是SOSD的特殊情况，其中=0。

基于所有风险厌恶决策者对一次赌博而不是其他赌博的一致偏好，SOSD提供了无可争议的风险比较。遗憾的是，这也限制了它的适用性：SOSD只是赌博的偏序。也就是说，许多的两个赌博间不能使用SOSD进行排名。具体而言，在罗思柴尔德-斯蒂格利茨意义上，当更具有风险的分布向上移动时——即其具有更高的均值——就不能断言任何凹效用函数将更喜欢风险更小的另一个分布。选择将取决于风险的规模和效用函数的形式。这种权衡是投资组合选择理论的主要研究对象，我们将在下一章中探讨。

如果将注意力集中在更具体的一群决策者（定义了其效用函数和财富水平）上，则可以建立全序排名，提供任意两个赌博的排名。全序可用于构建风险指数，即将赌博映射到仅依赖于赌博本身属性的实数的摘要统计。例如，Aumann和Serrano（2008）根据具有CARA效用的投资人的偏好提出了风险指数AS指数，对这些投资人而言，财富并不会影响他们对赌博的态度。AS指数是使得一个CARA投资人对一个赌博感到无所谓参不参与的风险容忍度（风险厌恶的倒数）。习题1.2将邀请你探讨这个风险指数，以及Foster和Hart（2009）提出的另一个风险指数FH指数。虽然风险指数缺乏SOSD的一般性并且取决于所考虑的偏好，但它们仍然可用于描述和调控的目的。

1.5.3 分散化原则

我们在本节展示一下罗思柴尔德-斯蒂格利茨分析方法如何在具有相同风险资产的简单投资组合选择问题中证明完美分散化的最优性。

考虑n个彩票，收益1，2，…，n是独立同分布的。你要选择权重α1，α2，…，αn，且∑iαi=1。很明显，最优的选择是一个完全多元化且同等加权的投资组合，其中对所有的i而言，权重为αi1/n。收益就是：

（1.46）

罗思柴尔德-斯蒂格利茨分析方法可以很容易证明这个是最优的。只要注意到其他任何策略中的收益是：

（1.47）

（1.48）

因此，任何其他策略都具有相等加权投资组合的收益，加上增加的噪声［根据罗思柴尔德-斯蒂格利茨条件（3）］。因此，任何凹效用函数都会偏好相等加权的投资组合［根据罗思柴尔德-斯蒂格利茨条件（1）］。

1.6 延伸练习

本章提出了一项非正式练习，一个投资者如何能够不管可能的奖金有多少，都拒绝50-50胜率且损失恒定的赌博，就像在拉宾（2000）表I中那样。答案是：如果效用是有上界的，那么即使胜利的奖金规模变得非常大，赢利的效用收益也会收敛到有限的极限。拉宾（2000）表I中的假设——具有期望效用的投资者在所有初始财富水平下都拒绝给定的小型赌博——要求绝对风险厌恶是不递减的（因为随着绝对风险厌恶的下降，在某些足够高的财富水平下，投资者会接受小型赌博）。但是具有恒定绝对风险厌恶的效用函数，如指数效用函数，是有上界的，并且所有具有递增绝对风险厌恶的效用函数，例如二次效用函数，也都是如此。这一讨论表明表II相对于表I可能是对预期效用的更有意义的批评。表II对投资者拒绝给定小赌注的财富范围做出了较弱的假设，因此符合递减的绝对风险厌恶。

习题1.1公平游戏

判断下列说法的对错。如果正确，请给予证明；如果错误，请举出反例。

（1）如果是关于的公平游戏，且是关于的公平游戏，那么和是相互独立的。

（2）如果和都有零均值且有零协方差，那么是关于的公平游戏，且是关于的公平游戏。

（3）对联合正态分布随机变量，零协方差代表着相互独立。

习题1.2风险指数

本练习探讨了前面提出的两个风险指数——AS指数和FH指数——的属性。决策者有初始财富水平W0和以财富值为变量的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数u，u′>0且u″<0。赌博由实值随机变量g表示，g代表一旦赌博被决策者接受，给财富带来的可能变化。如果E［u（W0+g）］≤u（W0），投资者（W0，u）将拒绝赌博；如果E［u（W0+g）］>u（W0），则接受g。我们只考虑E［g］>0且Pr（g<0）>0的赌博。为简单起见，我们假设赌博结果的可能性是有限的。设Lg≡max（-g）和Mg≡max g分别表示g的最大损失和最大所得。

对任意赌博g而言，AS风险指数RAS（g）是由以下等式的唯一正数解确定的：

（1.49）

对任意赌博g，FH风险指数RFH（g）是由以下等式的唯一正数解确定的：

（1.50）

（1）证明AS指数等于让一个CARA投资者在接受或拒绝赌博之间无差异的风险容忍度。即如果A<1/RAS（g）［如果A≥1/RAS（g）］，一个具有CARA效用u（w）=-exp（-Aw）的投资者将接受（拒绝）g。

（2）证明AS指数等于让一个对数效用的投资者在接受或拒绝赌博之间无差异的财富水平。即一个具有财富值W0>RFH（g）［W0≤RFH（g）］的对数效用投资者将接受（拒绝）g。

（3）考虑一个有pL概率输掉Lg且有1-pL概率赢得Mg的二值赌博。在二值赌博有Lg=100美元，Mg=105美元且pL=1/2的情况下［Rabin（2000）］，计算这两种指标。再对Lg=100美元，Mg=10 100美元且pL=1/2的情况做一次同样的计算。（对FH的计算求解析解，而AS的计算求数值解。）

（4）考虑一个收益可以无穷大的二值赌博，即Mg可以任意大。求出两个指数的显式公式，写成关于Lg和pL的函数趋近极限Mg→+∞的形式。解释这些公式背后的直觉。为什么在这些指数衡量下，无限期望的赌博风险不为零？ pL→0会发生什么？

（5）夏普比率为一个赌博的均值除以其标准差的比值，，被广泛用于衡量风险调整的资产组合回报。我们可以将其倒数视为风险指数。

① 举例证明夏普比率（的倒数）违背了一阶随机占优（因此也违背了二阶随机占优）。也就是说，如果一个赌博h一阶随机优于赌博g，SR（h）≥SR（g）并不总是成立。

② Aumann和Serrano（2008）提出了夏普比率的广义形式（GSR（g）≡E［g］/RAS（g），用于衡量“风险调整后”期望收益。试论证GSR符合二阶随机占优（因此也符合一阶随机占优）。

③ 证明当g是一个正态分布的赌博时，（GSR（g）通常相当于SR（g）。

提示：使用正态分布的概率密度函数来证明RAS（g）=Var（g）/ （2E［g］）。