2.4.1 静止坐标系数学模型
类似于2.3.1节的推导方法，建立电动机的电感矩阵L如下：
图2-7 五相永磁同步电动机变量关系示意图
a）基波平面定义 b）3次谐波平面定义
其中，绕组自感Lii（i=A～E）的推导过程见式（2-18）；同样的方法，也可以推导互感Mij（i，j=A～E，且i≠j），以下以A，B相绕组之间的互感MAB=MBA表达式推导为例。假设考虑谐波因数，且B相绕组流过电流iB，则在A相绕组中产生的耦合磁链ψA如下：
B相绕组对A相绕组产生的互感MAB如下：
式中，ψdmn=Fφncosn（θr-2π/5）Nkwn/Rsd，ψqmn=Fφnsinn（θr-2π/5）Nkwn/Rsq分别为n次气隙主磁链在d轴、q轴上的分量；Rsd，Rsq分别为相绕组磁路直、交轴磁阻；N为相绕组匝数；kwn为n次谐波绕组系数，Fφn为n次谐波磁动势。Lsmn=0.5（Ldmn+Lqmn），Lrsn=0.5（Ldmn-Lqmn）。
将自感和互感表达式代入式（2-63）后，可以得到五相永磁同步电动机电感矩阵具体表达式如下：
式中，α=2π/5。本书主要考虑谐波次数为3的情况，则对应电动机电感矩阵进一步具体化为
式中，I5为5×5的单位矩阵，LDC1，LAC1分别为基波平面气隙电感中的直流分量系数和时变分量系数；LDC3，LAC3分别为3次谐波平面气隙电感中的直流分量系数和时变分量系数。上述四个变量的具体表达式分别如下：
把基波平面上幅值为ψf1的永磁体磁链、3次谐波平面上幅值为ψf3的永磁体磁链分别向各自平面A～E轴线进行投影，然后对应轴线上的投影求和，即可得到A～E相绕组耦合的永磁体磁链ψAf～ψEf分别如下：
根据式（2-72），进一步对时间求导数，即可推导出A～E相绕组中的反电动势如下：
根据电动机学中磁路耦合原理分析，定子各相绕组磁链等于自感磁链、他相对其产生的互感磁链及永磁体耦合磁链之和，而绕组电流产生的自感磁链及互感磁链可以用上述推导的电感与电流的乘积表示。所以，建立A～E相绕组磁链ψsA～ψsE的数学模型如下：
绕组电阻压降、绕组反电动势之和与绕组端电压usA～usE相平衡，从而建立绕组A～E电压平衡方程式如下：
为了推导电磁转矩表达式，需建立多相电动机的磁共能表达式。假设电动机磁路为线性磁路，则五相永磁同步电动机的磁共能W′m如下：
式中，is=［isA isB isC isD isE］T，ψr=［ψAf ψBf ψCf ψDf ψEf］T分别为定子电流及相绕组耦合永磁体磁链列矢量。式（2-76）两边对转子位置角的机械角求偏微分，得到电磁转矩Te如下：
其中
根据式（2-77）～式（2-80）可见，反电动势中含有3次谐波后，电动机除了产生基波转矩外，还包括3次谐波转矩成分，使得该种电动机产生转矩更加灵活。同时，从以上数学模型建立过程及结果可见，由于反电动势含有谐波后使得自然坐标系中的数学模型更加复杂，因此如何进一步简化该数学模型，更加方便电动机瞬时转矩控制策略的构建，是实现该类型电动机高性能驱动控制的关键。
为此，采用坐标变换方法，把实际电动机模型映射到α1β1机电能量转换基波平面、α3β3机电能量转换3次谐波平面和z零序轴系上。根据2.2节多相交流电动机多平面分解坐标变换理论，构建五相自然坐标系变量向α1β1α3β3z的变换矩阵T5，该变换同时遵循了变换前后系统功率不变原则。
式（2-74）两边同时左乘变换矩阵T5，得到α1β1α3β3z轴系下的定子磁链表达式如下：
式中，变量在α1β1α3β3z轴上的分量用下角区分。
把式（2-66）电感矩阵L、变换矩阵T5代入式（2-83）中，进一步推导得
式中，
，
分别为转子永磁磁链在α1β1轴上的投影；
，
分别为转子永磁磁链在α3β3轴上的投影。Lσ=LsσI5，Lsσ=Lsσ1+Lsσ3。
令is1=［isα1 isβ1］T，ψr1=［ψrα1 ψrβ1］T，is3=［isα3 isβ3］T，ψr3=［ψrα3 ψrβ3］T，则Lθr1、Lθr3分别如下：
式（2-84）可进一步简记为
式（2-75）两边同时左乘变换矩阵T5，得到α1β1α3β3z轴系下的定子电压表达式如下：
考虑磁路线性的情况下，电动机的磁共能如下：
所以，电磁转矩如下：
从式（2-90）可见，反电动势含有3次谐波的五相对称绕组永磁同步电动机机电能量转换同时处于α1β1平面、α3β3平面上，电磁转矩是两个平面上的定子磁链矢量与定子电流矢量的叉乘之和；而由式（2-88）进一步可见，两个平面上的定子磁链与该平面上的定子电压和定子电流有关，若忽略定子电阻压降，则各平面上定子磁链直接由该平面定子电压控制。零序轴系不参与机电能量转换，其回路通过定子电阻和漏电感构成。