1.3.16 基于卡尔曼滤波器的PID控制算法
1.卡尔曼滤波器原理
在现代随机最优控制和随机信号处理技术中，信号和噪声往往是多维非平稳随机过程。因其时变性，功率谱不固定。在1960年年初提出了卡尔曼滤波理论，该理论采用时域上的递推算法在数字计算机上进行数据滤波处理。
对于离散域线性系统：
式中，w（k）为过程噪声信号；v（k）为测量噪声信号。
离散卡尔曼滤波器递推算法为
误差的协方差为
卡尔曼滤波器结构如图1-56所示。
图1-56 卡尔曼滤波器结构图
【仿真实例】
验证卡尔曼滤波器的滤波性能。对象为二阶传递函数：
取采样时间为1ms，采用Z变换将对象离散化，并描述为离散状态方程的形式：
x（k+1）=Ax（k）+B（u（k）+w（k））
y（k）=Cx（k）
带有测量噪声的被控对象输出为
yv（k）=Cx（k）+v（k）
式中，
，
，C=[1，0]，D=[0]。
【仿真之一】 采用M语言进行仿真
控制干扰信号w（k）和测量噪声信号v（k）幅值均为0.10的白噪声信号，输入信号幅值为1.0、频率为1.5Hz的正弦信号。采用卡尔曼滤波器实现信号的滤波，取Q=1、R=1。仿真时间为3s，原始信号及带有噪声的原始信号、原始信号及滤波后的信号和误差协方差的变化分别如图1-57～1-59所示。仿真结果表明，该滤波器对控制干扰和测量噪声具有很好的滤波作用。
图1-57 原始信号及带有噪声的原始信号
图1-58 原始信号及滤波后的信号
图1-59 误差协方差的变化
〖仿真程序〗 chap1_26.m
【仿真之二】 采用Simulink进行仿真
Kalman算法由M函数实现。控制干扰信号w（k）和测量噪声信号v（k）幅值均为0.10的白噪声信号，输入信号幅值为1.0、频率为0.5Hz的正弦信号。采用卡尔曼滤波器实现信号的滤波，取Q=1、R=1。仿真结果如图1-60和图1-61所示。
图1-60 原始信号y及滤波后的信号ye
图1-61 原始信号y及带有噪声的原始信号yv
〖仿真程序〗
（1）Simulink主程序：chap1_27.mdl
（2）Kalman滤波子程序：chap1_27f.m
（3）作图程序：chap1_27plot.m
2.基于卡尔曼滤波器的PID控制
基于卡尔曼（Kalman）滤波的PID控制系统结构如图1-62所示。
图1-62 基于卡尔曼滤波的PID控制系统结构图
【仿真实例】
采用卡尔曼滤波器的PID控制。被控对象为二阶传递函数：
离散化结果与“1.卡尔曼滤波器原理”的仿真实例相同。采样时间为1ms。控制干扰信号w（k）和测量噪声信号v（k）幅值均为0.002的白噪声信号，输入信号为一阶跃信号。采用卡尔曼滤波器实现信号的滤波，取Q=1、R=1。仿真时间为1s。分两种情况进行仿真：M=1时为未加滤波，M=2时为加滤波。在PID控制器中，取kp=8.0、ki=0.80、kd=0.20。加入滤波器前后PID控制阶跃响应如图1-63和图1-64所示。仿真结果表明，通过采用滤波器使控制效果明显改善。
本方法的不足之处是设计卡尔曼滤波器时需要被控对象的精确模型。
图1-63 无滤波器时PID控制阶跃响应（M=1）
图1-64 加入滤波器后PID控制阶跃响应（M=2）
〖仿真程序〗 chap1_28.m
