第一节　行列式的定义

一、二阶行列式

行列式是求解线性方程组的工具，以下从二元线性方程组及其公式解中引出二阶行列式的定义。

引例　求解一般的二元线性方程组，即

解　用加减消元法，在a11a22-a12a21≠0时，得到二元线性方程组的公式解。

在方程的解x1、x2一般表达式中，分子、分母都是两个数相乘减去两个数相乘的结构。为方便书写，更为了寻找二元线性方程组的公式解的规律，引入记号和规定运算。

定义1-1

其中，横排称为行，竖排称为列。数aij（i，j=1，2）表示第i行第j列的元素。因此，任一元素aij就可以通过其行序与列序唯一交叉确定，这便是行列式名称的由来。二阶行列式的值可以视为左上角与右下角（主对角线）乘积减去右上角与左下角（副对角线）乘积，称为对角线法则。

例1-1　利用对角线法则计算二阶行列式的值。

解　由二阶行列式的对角线法则，得到

根据二阶行列式的定义，在式1-1二元线性方程组的解中，分母为二元一次方程组的系数保持原位置构成的行列式，称为系数行列式，记为D。x1的分子为系数行列式第一列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为D1。x2的分子为系数行列式第二列换为方程组等号右边的常数列构成的行列式，记为D2。这三个行列式表示为

这样，在D≠0时，二元线性方程组有唯一解。