2.2.1 随机过程的数学定义
假设随机过程的样本空间为S，S上的每个样本点s都是具有一定概率规则的时间函数，因此随机过程是关于时间t和样本点s的二元函数，记为
对于一个固定的样本点si，函数X（t，si）对时间t的曲线称为一次实现，或者是随机过程的一个样本函数。为简化，将样本函数表示为
图2.1给出了随机过程的样本函数示例，其中样本函数为{xi（t）：i=1，2，…，n}。从图2.1中可以看出，对于任意一个固定的观察时刻tk，可以得到一个随机变量，记为
图2.1 随机过程的样本函数示例
因此，随机过程可以从两个不同的角度来描述。方便起见，将随机过程简记为X（t）。
（1）随机过程是具有一定概率规则的时间函数的集合，即
从这一角度定义随机过程更适合于工程应用。
（2）随机过程是在时间过程中处于不同时刻t的随机变量的集合，即
因此，随机过程又可以看作与时间t有关的随机变量的集合，每一时刻t的状态是随机的，从这一角度定义随机过程更适合于理论分析。
例2.1 考查正弦信号X（t）的随机性
X（t）=Acos（2πfct+Φ）
其中，振幅A和频率fc为固定值，随机相位Φ在［-π，π］上均匀分布。
解 由于起始相位Φ是在［-π，π］上均匀分布的随机变量，对任一φi得到的样本函数为
xi（t）=Acos（2πfct+φi）
所以X（t）是一个随机过程。图2.2给出3个样本函数的波形，其中φi的取值分别为0、
。
图2.2 随机相位的正弦信号波形
本例定义的随机过程可以类比通信系统接收设备中随机生成的本地载波，用于对接收信号进行解调；随机变量Φ则表示本地载波和发射端用于调制信号的正弦载波之间的相位差。
注意：本例给出的是一种退化的随机过程，其样本函数由t=0时刻的状态完全确定。这也说明随机过程的样本函数不一定就是完全随机的。
【本例终】
例2.2 考查随机信号X（t）=X，其中X是［-1，+1］之间均匀分布的随机变量。
解 显然，对不同随机变量X，会得到一个样本函数X（t）=X，只不过此时的样本函数是一个常函数，所以X（t）是一个随机过程。图2.3给出了3个样本函数的信号波形，其中X的取值分别为0.5、-0.8和1。
图2.3 随机过程X（t）=X的样本函数的信号波形
【本例终】
例2.3 考查随机延迟二进制脉冲信号X（t），假设符号“1”和“0”分别用电压幅度为+A和-A的脉冲等概率发送，脉冲持续时间为T秒，脉冲的起始时间相对于0时刻的延迟μ在［0，T］上服从均匀分布。
解 图2.4给出了该脉冲信号序列的一个样本函数。
图2.4 随机延迟二进制脉冲信号序列的一个样本函数
显然二进制脉冲信号与μ有关，μ在［0，T］上服从均匀分布，所以上述随机延迟的二进制信号X（t）是一个随机过程。
【本例终】