2.3　考研真题详解

一、选择题

1设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且

则P{X＜0}＝（　　）．[数一、数三2018研]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】A

【解析】由f（1＋x）＝f（1－x），知f（x）的图像关于x＝1对称，将f（x）看成随机变量X～N（1，σ²）的概率密度，则有P{x＜1}＝0.5，由

可得P{0＜x＜2}＝0.6，根据正态分布的对称性，所以P{0＜x＜1}＝0.3，故P{X＜0}＝0.2．

2设随机变量X～N（μ，σ²）（σ＞0），记p＝P{X≤μ＋σ²}，则（　　）．[数一2016研]

A．p随着μ的增加而增加

B．p随着σ的增加而增加

C．p随着μ的增加而减少

D．p随着σ的增加而减少

【答案】B

【解析】因为p＝P{X≤μ＋σ²}＝P{（X－μ）/σ≤σ}＝F（σ），所以，p的大小与μ无关，随着σ的增大而增大．

3设随机变量X与Y相互独立，且X～N（1，2），Y～N（1，4），则D（XY）＝（　　）．[数三2016研]

A．6

B．8

C．14

D．15

【答案】C

【解析】根据题意，X、Y相互独立，则

D（XY）＝E（XY）²－（EXY）²＝EX²EY²－（EXEY）²＝[DX＋（EX）²][DY＋（EY）²]－（EXEY）²＝14

4设总体X～B（m，θ），X₁，X₂，…，X_n为来自该总体的简单随机样本，为样本均值，则（　　）．[数三2015研]

A．（m－1）nθ（1－θ）

B．m（n－1）θ（1－θ）

C．（m－1）（n－1）θ（1－θ）

D．mnθ（1－θ）

【答案】B

【解析】根据样本方差的性质：E（s²）＝D（X），D（X）＝mθ（1－θ），从而

5设连续型随机变量X₁，X₂相互独立，且方差均存在，X₁，X₂的概率密度分别为f₁（x），f₂（x），随机变量Y₁的概率密度为

随机变量Y₂＝（X₁＋X₂）/2，则（　　）．[数一2014研]

A．EY₁＞EY₂，DY₁＞DY₂

B．EY₁＝EY₂，DY₁＝DY₂

C．EY₁＝EY₂，DY₁＜DY₂

D．EY₁＝EY₂，DY₁＞DY₂

【答案】D

【解析】由期望的定义和性质得

因此，选择D项．

二、填空题

设随机变量X的概率分布为P{x＝－2}＝1/2，P{x＝1}＝a，P{x＝3}＝b，若EX＝0，则DX＝______．[数三2017研]

【答案】9/2

【解析】由题意知

计算得a＝b＝1/4，从而EX²＝（－2）²×（1/2）＋1²×（1/4）＋3²×（1/4）＝9/2，得

DX＝EX²－（EX）²＝9/2－0＝9/2

三、计算题

1设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X＝0}＝P{X＝2}＝1/2，Y的概率密度为：

（1）求P{Y≤EY}；

（2）求Z＝X＋Y的概率密度．[数一、数三2017研]

解：（1）计算得

则

（2）Z的分布函数为F_Z（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z，X＝0}＋P{X＋Y≤z，X＝2}＝P{X＝0，Y≤z}＋P{X＝2，Y＋2≤z}＝（1/2）[P{Y≤z}＋P{Y≤z－2}]＝（1/2）[F_Y（z）＋F_Y（z－2）]，故Z的概率密度函数为

2设总体X的概率密度为

其中θ∈（0，＋∞）为未知参数，X₁，X₂，X₃为来自总体X的简单随机样本，令T＝max{X₁，X₂，X₃}．

（1）求T的概率密度；

（2）确定a，使得E（aT）＝θ．[数一、数三2016研]

解：（1）计算得

F_T（t）＝P（T≤t）＝P{max（x₁，x₂，x₃）≤t}＝P{x₁≤t，x₂≤t，x₃≤t}＝P{x₁≤t}P{x₂≤t}P{x₃≤t}＝F³（t）

当t≤0时，F（t）＝0；

当0＜t＜θ时

当t＞θ时，F（t）＝1．

所以

所以T的概率密度函数为

（2）计算得

因为aT为θ的无偏估计，所以E（aT）＝9aθ/10＝θ，解得a＝10/9．

3设随机变量X的概率密度为

对X进行独立重复的观测，直到2个大于3的观测值出现的停止，记Y为观测次数．

（1）求Y的概率分布；

（2）求EY．[数一、数三2015研]

解：（1）记p为观测值大于3的概率，则

从而

为Y的概率分布．

（2）由已知得

记

则

所以S（x）＝S₁（x）－2S₂（x）＋S₃（x）＝（2－4x＋2x²）/（1－x）³＝2/（1－x）

从而E（Y）＝S（7/8）＝16．

4设随机变量X的分布为P（X＝1）＝P（X＝2）＝1/2，在给定X＝i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U（0，i）（i＝1，2）．

（1）求Y的分布函数F_Y（y）；

（2）求E（Y）[数一、数三2014研]

解：（1）由题意得随机变量Y的分布函数为

F_Y（y）＝P（Y≤y）＝P（Y≤y，X＝1）＋P（Y≤y，X＝2）＝P（Y≤y|X＝1）P（X＝1）＋P（Y≤y|X＝2）P（X＝2）＝[P（Y≤y|X＝1）＋P（Y≤y|X＝2）]/2

当y＜0时，F_Y（y）＝0；

当0≤y＜1时，F_Y（y）＝y/2＋（1/2）（y/2）＝3y/4；

当1≤y＜2时，F_Y（y）＝1/2＋（1/2）（y/2）＝y/4＋1/2；

当y≥2时，F_Y（y）＝1；

故分布函数为

（2）由分布函数得概率密度函数为

则期望