§4-4 等直圆杆扭转时的强度条件和刚度条件
一、强度条件
为了保证杆在扭转时有足够的强度，必须使全杆的最大工作切应力τmax不超过材料的许用扭转切应力[τ]。于是可建立杆在扭转时的强度条件为
τmax≤[τ] （4-16）
对于等直圆杆，其最大切应力τmax应发生在最大扭矩MT，max所在横截面（称为危险截面）的周边上任一点（称为危险点）处。于是，由公式（4-9）可得全杆的最大切应力为
将此τmax代入上述强度条件，即得等直圆杆在扭转时的强度条件为
这一强度条件与拉（压）杆的强度条件类似，也可用于强度校核、截面设计和许可载荷的计算。
许用扭转切应力[τ]的值可从有关的设计手册中查到
二、刚度条件
前面已指出，为了保证杆在扭转时能正常工作，除了应使其满足强度要求外，有时还必须使它满足刚度要求。这就要求对杆的扭转变形加以限制。通常是限制杆的最大单位长度扭转角θmax，使其不超过规定的许用单位长度扭转角[θ]，即
θmax≤[θ] （4-19）
此即杆在扭转时的刚度条件
对于等直圆杆，其最大单位长度扭转角发生在扭矩为最大处，它可由公式（4-7）来计算。但由于工程中[θ]的常用单位是度每米（代号是°/m），故必须考虑单位的统一。于是从公式（4-7）和式（4-19）可建立等直圆杆的刚度条件为
常用的[θ]值可从有关的设计手册中查到。在要求精密、传动稳定的情况下，[θ]常规定在0.25～0.5°/m范围内，对于一般的传动轴则可放宽到2°/m左右。
刚度条件可用于杆的刚度校核或截面设计。对于要求精密的轴，其[θ]值较小，故它的截面尺寸常由刚度条件所决定。
图 4-12
【例4-2】 一钢制阶梯轴如图4-12所示。若材料的许用切应力[τ]=60MPa。试校核轴的强度。
解：（1）作扭矩图
用截面法并考虑扭矩的正、负号后，可求得图（a）中AB段和BC段内任一横截面上的扭矩分别为
MT，AB=-10kN·m
MT，BC=-3kN·m
由此可作轴的扭矩图（图b）。
（2）求最大切应力
由图（b）可见，最大扭矩值在AB段内，但轴AC是阶梯状的，AB段内各横截面的直径也大。因此必须分别计算两段轴横截面上的最大切应力，从而求出全轴的最大切应力作为强度校核的依据。
对AB段各横截面，由公式（4-9）可算得最大切应力为
对于BC段，最大切应力为
由以上结果可见，全轴的最大切应力发生在扭矩较小的BC段内，其值为70.7MPa。
（3）校核强度
由于τmax≥[τ]，故轴AC不能满足强度条件。
【例4-3】 某轴由45号钢制成，材料的许用切应力[τ]=50MPa，剪切弹性模量G=80GPa，轴在两端受矩为Me=18kN·m的扭转力偶作用。其许用单位长度扭转角[θ]=0.3°/m。试按强度条件和刚度条件确定轴的直径。
解：（1）计算扭矩
由截面法可求得此轴各横截面上的扭矩MT=Me=18kN·m。
（2）按强度条件确定轴的直径
根据公式（4-18）和式（4-13），即
可得此轴的直径为 
=0.1224（m）=122.4（mm）
（3）按刚度条件确定轴的直径
根据公式（4-20）和式（4-12），即
可得此轴的直径为
由以上计算结果可见，轴的直径应由刚度条件决定，即应不小于144.6mm，因此，可取d=145mm。
【例4-4】 某汽车传递动力的主传动轴由45号钢的无缝钢管制成，其外径D=90mm，壁厚t=2.5mm。在使用时最大扭矩MT=1.5kN·m。已知材料的[τ]=60MPa。（1）试校核该轴的强度；（2）若改用实心轴，在相同应力条件的情况下，试确定实心圆轴的直径d，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：（1）对于空心轴
，抗扭截面系数为
所以，该轴的强度是足够的。
（2）对于直径为d的实心圆轴，在相同的应力条件下，即τmax=51.7MPa，则按公式（4-17）有
实心轴和空心轴的重量之比
可见，在其他条件相同的情况下，实心轴的重量超过空心轴。因此，空心轴的材料消耗较少。这个现象也可用扭转理论所提供的应力分布规律来解释。从图4-12可见，实心轴中心部分的材料受到的切应力很小，所以，这部分材料没有充分发挥它的作用。然而，杆件截面是否合理，一方面要从强度、刚度因素来考虑，同时也要从加工的工艺性和制造成本等方面来考虑。此外空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即在绪论中所讲的丧失稳定）。