2.3　形状导数与灵敏度分析

2.3.1　形状导数

在拓扑优化设计过程中，灵敏度分析（sensitivity analysis）为推导目标函数和约束条件变分的重要概念，该灵敏度信息主要用于确定水平集即结构边界的演化方向。在基于水平集方法的优化框架下，优化模型的灵敏度分析通常建立在形状导数（shape derivative）的基础上[16]。形状导数主要研究材料域的形状变化与目标函数变化间的联系。在特定的物理和几何约束下，结构拓扑优化的边界表示为材料域几何形状的隐函数，此时的设计变量亦认为是设计区域的几何形状Ω。如图2-4所示，几何形状Ω在微小扰动τ下的演化可视为从x到x(τ)的映射T[13]，[32]：

几何边界扰动的速度场定义为

若T-1存在，则速度场将改写为

几何形状Ω的变化可定义为如下初值问题：

由于水平集方程通常采用Eulerian方法驱动结构边界的演化，边界的几何形状变化又可利用下述等式计算：

由式（2-30）给出的优化模型可知，优化目标J（u，Φ）为位移场u和水平集函数Φ的泛函，可采用物质导数（material derivative）[33]推导优化目标的形状导数。关于物质导数和形状导数，可以给出如下定义和引理：

定义　若J(x)为在变形域Ω_τ内的任意光滑函数，则J(x)的物质导数为

若目标泛函在设计域Ω和边界Γ上可积，则可以定义如下两则引理[1]：

引理1　若 ，则其物质导数为

其形状导数为

引理2　若 ，则其物质导数为

其形状导数为

2.3.2　灵敏度分析

在基于传统的水平集的结构拓扑优化中，Wang等[11]和Allaire等[12]采用经典的形状导数理论来获取结构边界运动的速度场，从而使得目标函数下降。本章同样采用形状导数来推导目标函数和约束条件关于设计变量（扩展系数）的灵敏度。

根据形状导数的概念可以推导目标函数、能量双线性形式和载荷线性形式关于时间变量t的微分分别为

由于 ∈U，可得到共轭方程：

弹性平衡条件a(u，v，Φ)=l(v，Φ)对t求偏导：

将式（2-45）~式（2-47）代入式（2-48）可得

考虑到结构柔度最小化问题为自伴随问题[11]，因此，

由于假设Dirichlet边界Γ_D在法向上不可移动，即V_n在边界Γ_D上为零。将式（2-50）代入式（2-44）可得到目标函数的形状导数为

其中，n为法矢；Γ_f为无牵引力边界，且有

由于不考虑牵引力，在边界Γ_N上的积分消失。将速度场式（2-22）代入式（2-51），则目标函数的形状导数可改写为

其中γ函数记为

通过链式法则对目标函数J(u，Φ)直接求其关于时间变量t的偏导数可以得到：

对比式（2-53）和式（2-55），不难发现目标函数关于设计变量的敏度为

类似地，可以得到约束条件关于设计变量的敏度为

可以看到，式（2-56）和式（2-57）在计算敏度时采用边界积分（boundary integration），在边界积分项中，|▽φ（x）α（t）|的计算成本高。此外，如果水平集面较为平坦，|▽φ(x)α(t)|的值相应较小，此时的计算误差将被进一步放大。更为重要的是，边界积分策略是导致基于水平集的拓扑优化方法在结构域内无法自由形成新孔洞的重要原因之一。基于以上分析，本章采用更为高效的体积积分（volume integration）策略来计算优化模型的敏度。与边界积分策略相比，体积积分无需在边界上计算|▽φ(x)α(t)|，因此不仅不会阻碍结构设计域内的孔洞自由形成，而且会显著降低计算积分项时的成本[11-20]。通过引入映射关系dΓ=δ(Φ)|▽Φ|dΩ，敏度表达式（2-56）和式（2-57）可进一步表示为