2.4　数值实现

2.4.1　人工材料插值模型

在本书所涉及的研究中，均假设水平集网格规模与结构域的有限元网格规模相当。当水平集函数所包含的光滑边界在规则Eularian网格上运动时，必然会出现网格被结构边界切割的情形，从而导致光滑边界的不连续问题（boundary discontinuity）。通常，需要在迭代过程中不对结构域进行网格重划分，以准确描述水平集的零水平面所形成的边界[16]。本书采用人工材料（ersatz material）[20]模型来解决边界不连续问题，从而避免耗时的有限元网格重划分过程。在计算应变场时，人工材料模型假设被结构边界切割的单元等效为具有中间密度的单元，初切割单元实体部分所占的面积代表该单元的人工材料密度值，单元的刚度矩阵则与该人工材料密度值正相关。

2.4.2　过滤技术

在参数化水平集中，可采用过滤技术对单元伪密度χ_h进行过滤。一方面，无论是采用光滑的Heaviside函数[7]还是人工材料模型[8]都无法完全精准地表达结构边界和设计敏度[34]，因此过滤技术能够增加设计敏度的光滑性。另一方面，合适的过滤技术还能通过增加伪密度场的连续性来缓解拓扑优化设计中的网格依赖性问题[35]，[36]。

本书所采用的伪密度过滤技术为

其中，θ_h，_f= 。

其中， 为过滤后的单元伪密度；θ_h，_f为hat函数 所定义的卷积；NH是在单元h附近指定过滤半径范围内的单元数量；r_min为过滤半径，通常取值为1.5~2.0倍的网格尺寸；dist(h，f)用于计算单元h到单元f间的距离。