1.2 优化驱动的设计方法研究现状
本节将围绕拓扑优化设计、多学科设计优化和可靠性设计优化3类优化驱动的设计方法进行国内外研究现状综述。
1.2.1 拓扑优化设计研究现状
拓扑优化主要运用于产品的概念设计阶段，它完全不依赖于初始参考构型和工程经验，能够根据不同的设计需求（目标函数），在规定的设计区域内创新性地构造出结构的最佳构型。早期的拓扑优化设计主要运用于以桁架为代表的离散体结构[10-13]。连续体结构拓扑优化思想则是由Bendsøe和Kikuchi[14]在1988年的研究论文中首次提出，经过三十多年的发展，学者们提出了多种行之有效的拓扑优化设计方法，包括：均匀化方法[14]、带惩罚函数的固体各向同性微结构（solid isotropic microstructures with penalization，SIMP）方法[15-18]、水平集方法（level set method）[19-22]、进化结构优化（evolutionary structural optimization，ESO）方法[23]、可移动变形组件（moving morphable components，MMC）方法[24]，[25]以及独立-连续-映射（independent continuous mapping，ICM）方法[26]，[27]等。虽历经几十年的发展，学者们提出了各具特色的拓扑优化设计方法，但由于描述模型的不足、算法和问题的复杂性导致拓扑优化在解决工程设计问题时尚存在缺陷。在各类拓扑优化设计技术中，学者们通常采用基于有限元的方法对结构应变场进行分析，这将导致结构边界形状依赖于有限元网格，即产生模糊或锯齿状的结构边界。因此，一些基于单元密度的拓扑优化方法无法获得完整的结构边界几何信息，导致其优化结果无法直接导入CAE/CAD软件进行分析和再设计。基于水平集的拓扑优化设计方法能够获得清晰、光滑的结构边界。其基本原理是将结构的动态边界隐式地嵌入到高一维的水平集函数中，通过选择合适的速度场以驱动结构边界逐步优化。该几何描述方式确保了最优拓扑的清晰结构边界和完整几何信息，能够直接与CAE/CAD软件集成。由于基于水平集的拓扑优化设计方法集成了形状导数的概念，故其能够同时开展结构的形状和拓扑优化。然而，传统的水平集方法在解决拓扑优化设计问题中还存在许多不足，如：数值计算复杂，迭代步数多；优化结果依赖于初始孔洞的数量和位置；基于梯度的高效优化算法（如优化准则法、移动渐近线法）无法直接应用；缺乏针对动力学、微尺度、多尺度等优化问题的应用研究等。上述问题还有待进一步探讨和研究。因此，本节接下来将重点对水平集方法进行综述。
1．水平集方法研究现状
与基于单元密度的拓扑优化方法不同，水平集方法是一类基于边界描述的方法。水平集方法能够通过直接驱动结构边界来达到优化结构拓扑和形状的目的，因此可以保证所获得优化结构具有清晰、光滑的边界。最经典的水平集方法并不是一开始就应用于结构拓扑优化设计研究，其最早是应用于追踪曲面／曲线的演化过程[19]。该方法的主要思想是将低一维的运动边界作为零水平面，并将该零等值面嵌入到高一维的水平集函数中，通过设置合适的边界速度场，即可驱动水平集函数运动，从而间接地带动零水平面（运动界面）演化。该方法在图形图像处理、火焰燃烧、晶体生长、多相流、计算机视觉等运动界面追踪领域得到了广泛的应用[28]。利用水平集方法描述运动边界具有诸多优点，如：方便灵活地反映曲线／曲面的形状和拓扑特征；容易获得运动边界的几何特征（如法矢和曲率等）；能够在离散的网格上利用有限差分法对水平集方程进行数值求解，并利用空间导数计算水平集函数Φ的梯度；Hamilton-Jacobi偏微分方程的黏性解理论保证其能够找到Lipschitz连续的唯一解[29]。
考虑到水平集方法在处理运动边界方面的独特优势，Sethian和Wiegmann[20]在2000年首次将该方法引入结构拓扑优化设计领域，实现了结构形状和拓扑优化联合优化，实现了典型结构件的满应力设计。在该研究中，结构的边界被隐式地嵌入到高一维的水平集函数中，基于形状灵敏度分析建立了结构边界演化的速度场，最终构建了Hamilton-Jacobi偏微分方程，通过对偏微分方程进行迭代求解，实现了结构的优化设计。随后，Osher和Santosa[30]在水平集方法框架中引入了目标泛函的形状梯度，从而建立了形状梯度与速度场间的联系。这一工作被Allaire等[22]和Wang等[21]进一步拓展和改进，从而形成了水平集与形状导数相结合的新框架，至今仍然是最流行的方法之一。基于以上工作，学者们对基于水平集方法的拓扑优化设计开展了深入而广泛的研究。庄春刚等[31]为解决标准水平集方法无法生成新孔洞的缺陷，利用vonMises应力准则来构造新孔。Xia等[32]提出了一种半拉格朗日策略来求解Hamilton-Jacobi偏微分方程，增加了迭代步长，减少了优化所需的迭代步数。荣见华[33]对水平集方法进行改进，解决了传统水平集方法导致结构边界进化停滞的问题。Luo等[29]提出了一种新的半隐式格式水平集方法，利用半隐式加性分裂算子求解Hamilton-Jacobi偏微分方程。
尽管水平集方法在处理运动边界时具有天然优势，然而利用传统水平集方法解决结构拓扑优化问题时尚存在以下缺陷：①高一维的水平集函数在优化过程中可能会变得过于平坦或过于陡峭。这是由于零水平面所对应的水平集函数不唯一所造成的。过平或过陡的水平集面会导致数值计算的稳定性问题，因此在应用传统水平集方法时需要不断将水平集函数重新初始化为一种符号距离函数。而该重新初始化操作通常独立于优化过程之外，额外地增加了优化成本。②为满足稳定性和收敛性要求，在求解Hamilton-Jacobi偏微分方程时需要满足Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，即时间步长需要小于单个水平集网格的间隔长度。换句话讲，水平集网格尺度需要足够小，才能满足计算精度要求，这也将导致优化迭代时间的显著增加。③为了驱动水平集函数的演化，需要将边界上的速度场扩展到整个结构设计域或边界上的窄带区域。然而通过形状导数得到的速度场主要定义在结构边界上，因此需要求解一套额外的Hamilton-Jacobi偏微分方程才能实现速度场的扩展。以上问题一定程度上限制了传统水平集方法的应用。
2．参数化水平集方法研究现状
为了克服传统水平集方法的缺陷，学者们开展了对水平集方法的改进研究。Yamada等[34]在水平集方法中嵌入了一种虚拟界面能量形式，解决了连续体刚度拓扑优化设计和柔性机构拓扑优化设计问题。vanDijk等[35]提出了一种显式的水平集拓扑优化设计方法。Dunning和Kim[36]运用序列线性规划方法求解基于水平集的拓扑优化设计模型，提升了方法的求解效率。Guo等[37]利用水平集方法实现了结构拓扑优化设计中的显式特征控制。
除上述方法之外，参数化水平集方法被认为是水平集方法中最有效的改进形式之一[38]。2006年Wang和Wang[39]采用一种全局支撑的径向基函数（globally supported radialbasis function，GSRBF）对离散点上的水平集函数进行插值，从而通过改变径向基函数（radialbasis function，RBF）插值的扩展系数来实现水平集函数及结构边界的更新，最终实现了结构刚度最大化的拓扑优化设计。在该方法中，扩展系数的迭代更新采用了最速下降法，该算法的效率和通用性尚有待进一步的改进。为了降低由于GSRBF稠密插值矩阵所导致的高昂计算成本，Ho等[40]利用动态径向基函数插值节点和单位分解法，提出了改进的参数化水平集方法。此外，Luo等[41]引入紧支撑径向基函数（compactly supported radial basis function，CSRBF）插值技术，提出了基于CSRBF的参数化水平集方法，并将其运用于结构刚度优化[42]、柔性机构优化[43]、材料微结构优化[44]，[45]等不同应用场景。
对于基于RBF插值的参数化水平集方法而言，插值精度和效率对方法的性能有重要影响。基于CSRBF的插值机制在参数化水平集中应用十分广泛[41-45]，其主要原因在于CSRBF的插值矩阵较为稀疏，能够很大程度上降低水平集函数插值的计算成本。理论上，CSRBF的支撑仅定义在当前样本点附近的有限区域内，对该样本点的水平集函数进行插值时并没有考虑设计域内所有插值节点的影响，因此CSRBF的插值效率高，而精度较低[46]。对于材料使用量较多或对结构边界敏感度较低的结构拓扑优化设计问题，采用CSRBF插值具有不错的效果。相较于CSRBF，GSRBF有较高的插值精度[46]，通常可以找到更优的结构设计方案，但其插值和优化的效率十分低下，导致对于大规模拓扑优化问题应用困难。由此可见，对于参数化水平集方法而言，在平衡其优化效率和优化效果方面具有较大的改进空间。
自拓扑优化研究兴起以来，各类优化方法不断涌现，较为经典的方法有均匀化方法、变密度法、进化结构优化法、水平集法、移动可变形组件法和独立-连续-映射法等。从拓扑优化方法的发展来看，各类方法均具有独特的优势，同时又存在一定的应用缺陷。通常而言，可从建模特点、求解效率和操作难易程度来不断改进和完善拓扑优化方法。在拓扑优化的应用方面，随着增材制造技术的推广和成熟，复杂的结构形式能够被该类制造工艺加工成型，使得拓扑优化受到工程界的广泛重视，并成为产品设计中不可或缺的设计工具。拓扑优化设计技术是基于“优化”的思想，通过科学的手段，智能地获得创新性结构设计方案，且该方案往往是无法通过经验设计得到的轻量化结构。目前，拓扑优化已运用于航空航天、汽车工业、船舶设计、材料工程等应用领域。如空客A380机翼翼肋、福特汽车底盘结构、舰艇舷侧防撞结构、卫星点阵夹层结构和智能材料等均采用了拓扑优化设计技术。持续增加的应用范围驱动商用软件巨头们开发拓扑优化软件或相关功能模块，如Hyperworks、COMSOL、ANSYS、TOSCA等。根据拓扑优化方法及应用的研究现状和工程需求，其未来发展趋势在于如下方面：①方法的优化效率，即应用新理论、新技术降低优化方法的计算成本，提升方法的优化效果；②方法的稳定性，即减少优化迭代时的参数设置和约束选择等人工干扰因素对优化结果的影响；③结构的可制造性，考虑增材制造工艺的现状，使优化后的结构更加便于制造；④应用对象的扩展，即针对不同的优化问题如动力学、多物理场、材料设计、多尺度设计等。
1.2.2 多学科设计优化研究现状
受各学科仿真需要花费庞大计算量、学科间信息交互耦合等因素的影响，计算复杂性和组织复杂性成为了MDO的两大主要难点。在MDO领域众多的研究方法中，近似模型和求解策略对有效降低MDO中计算复杂性和组织复杂性起到了非常重要的作用，这两方面研究内容已经成为国内外学术界和工业界的研究热点[3]。本节将对MDO中近似模型与求解策略的国内外研究现状进行系统的综述和讨论。
1．近似模型研究现状
20世纪80年代，Kleijnen[47]最早提出了近似模型的概念，他将近似模型称为元模型（metamodel），即“a model of the model”，用于替代工程产品设计优化中昂贵耗时的计算机仿真程序，以降低计算量，减少计算时间和计算成本。20世纪90年代末期，Sobieszczanski-Sobieski和Haftka[48]总结了近似模型在MDO中的应用概况。2002年9月，在第9届AIAA/USAF/NASA/ISSMO多学科分析与优化国际会议上，来自工业界和政府部门的研究学者重点讨论了近似模型的研究与应用现状，并指出了其未来的研究方向[49]。
目前，常用的近似模型主要包含以下几种：响应面（response surface methodology，RSM）模型[50]、Kriging模型[51]、径向基函数（radial basis functions，RBF）模型[52]，这3种模型在MDO中得到了广泛应用。
1）响应面模型
RSM模型采用多项式回归技术，利用最小二乘法对试验数据进行拟合，得到输出响应与输入变量之间的近似函数关系，在工程产品多学科设计优化中应用广泛。RSM模型具有构造简单、易于操作的特点，能清楚地反映输出响应与输入变量之间的函数关系，深受广大工程设计人员的喜爱。RSM模型比较适合于线性问题的近似，对于非线性问题，RSM模型往往表现出较低的近似精度[53]。
2）Kriging模型
Kriging模型起源于20世纪60年代，最初由南非采矿工程师Krige将其应用于地质统计学中进行空间估计。随后，Matheron进一步发展了Kriging估计技术的数学意义[54]。20世纪80年代末期，Sacks等[51]将Kriging模型引入到工程领域，用于构建确定性计算机仿真中输入与输出数据之间的近似函数关系。从插值角度来讲，Kriging是一种对空间分布的数据进行最优线性无偏估计的插值方法[51]，[55]。Kriging模型适用范围广，对于线性和非线性问题都具有较高的近似精度，在工程产品多学科设计优化中得到了广泛的应用。但是Kriging模型的构建过程复杂，需要利用极大似然估计方法求解一个无约束的优化问题，而且Kriging模型无法直观给出输出响应与输入变量之间的灵敏度信息[53]。
3）径向基函数模型
RBF模型是一种多变量插值模型，是众多神经网络模型中的一种，它利用径向基函数构造神经网络的传递函数，不仅具有任意精度的泛函逼近能力，而且具有较快的收敛速度[52]，[56]。与Kriging近似模型相同，RBF模型也具有较广的适用范围，对于线性和非线性问题，RBF模型同样也表现出了较好的近似精度，但是RBF模型也无法直观反映输入变量变化对输出响应的影响程度[53]。
除了上述3种常用的近似模型外，还有其他一些近似模型也被应用到MDO中，如多元自适应回归样条（multivariate adaptive regression splines，MARS）模型[57]、人工神经网络（artificial neural network，ANN）模型[58]、支持向量回归（support vector regression，SVR）模型[59]和遗传编程（genetic programming，GP）模型[60]，[61]等。每种近似模型都有其自身的优点和缺点，为总结各种近似模型的特点和适用范围，国内外研究学者纷纷开始通过算例对它们的近似性能进行测试与比较。
国外关于近似模型比较的研究主要有：Giunta等[62]在超音速运输机多学科设计优化的工程实例中，将RSM模型和Kriging模型进行对比分析，总结了它们各自的优缺点，并指出对于存在多个局部极值的响应数据，RSM模型的近似精度比较差，而Kriging模型则具有较高的近似精度。但是与RSM模型相比，Kriging模型的构建过程需要花费更多的计算量。Simpson等[63]，[64]将RSM模型和Kriging模型应用到飞行器塞式喷嘴设计中，对二者进行对比，得出Kriging模型近似精度较高的结论。Meckesheime等[65]通过对含有离散和连续变量的函数例子进行测试，对比了RSM模型、Kriging模型和RBF模型的近似精度，得出RBF模型的近似精度较好。Hussain等[66]利用全因子和拉丁超立方两种试验设计方法进行采样，通过7个函数例子进行测试，比较得出RBF模型比RSM模型近似精度高。除此之外，国外还有一些关于近似模型比较的研究，具体可以参考文献[67-69]。国内对近似模型比较的研究较少，主要以西北工业大学的张健和李为吉[70]为代表，他们将RSM模型、RBF模型、Kriging模型和增强的RBF模型进行对比分析，总结了4种近似模型的特点和适用范围。
除了上述初步的比较研究外，国外少数研究学者对各种近似模型的性能进行了全面、系统的比较。Jin等[53]最早开展了此项研究工作，他们在考虑大、小和稀少3种样本规模的基础上，对非线性程度较高和较低的样本数据、平滑与含数值噪声的样本数据进行近似预测，依据预测精度、鲁棒性、计算效率、透明度和概念简单性五种评价指标对RSM、Kriging、RBF和MARS4种近似模型进行了全面而系统的比较，总结了4种近似模型各自的优缺点和适用范围。Clarke等[59]将SVR模型引入到近似模型领域中，从预测精度、鲁棒性、计算效率和透明度4种评价指标出发，将SVR模型与MDO中常用的4种近似模型（即RSM、Kriging、RBF、MARS模型）进行对比，证明SVR模型具有潜在的广阔应用前景。
目前，近似模型已经在工程产品设计优化中得到了广泛应用，但是为了实现高精度近似，在构建近似模型前通常需要进行大规模的采样。RSM模型具有透明度高、构建简单的特点，比较适合于线性问题近似。Kriging和RBF模型能提供较高的近似精度，但是它们的透明度较差。在工程产品设计优化中，设计人员可以根据各个近似模型的特点和适用范围，选择合适的近似模型进行应用。
2．求解策略研究现状
1）单级求解策略的研究现状
在MDO发展初期，求解策略呈现单级形式，主要有多学科可行（multidisciplinary feasible，MDF，也称为all-in-one，AIO）方法[71]、同时分析和设计（simultaneous analysis and design，SAND，也称为all-at-once，AAO）方法[72]、单学科可行（individual discipline feasible，IDF）方法[73]。这些方法为求解早期简单的MDO问题提供了有效的思路。
MDF方法通过系统分析模块将各学科分析集中起来，在此基础上利用优化算法对整个系统进行设计优化。该方法通过多学科系统分析来确保各学科间设计变量的一致性，整个系统只有一个优化器，是最早期的单级求解策略。AAO方法通过引入辅助设计变量来代替各学科分析状态变量，从而避免了各个学科之间直接的耦合关系，使得各个学科能够独立并行地进行分析。辅助设计变量和各学科分析状态变量之间的差异通过一致性约束来协调，最后执行系统优化，获得MDO问题最优解。与AAO方法相同，IDF方法同样也通过引入辅助设计变量的方式来实现各个学科的并行分析，但是AAO方法对所有学科分析的状态变量都利用辅助设计变量来替代，IDF方法只是对各个学科之间的耦合状态变量进行替代。与AAO方法相比，IDF方法能减少设计变量的数目，从而降低系统优化所需要的计算量。
上述3种单级求解策略通过学科分析与系统优化的集成，实现MDO问题的求解，求解系统中只存在一个优化器，整个优化过程需要进行大量的学科分析和系统分析，对于涉及学科较少、设计变量不多、计算量不大的工程产品MDO问题，往往能够有效地获得产品整体性能最优的设计方案。
2）多级求解策略的研究现状
随着结构、流体和控制等学科理论的不断发展和完善，工程产品多学科设计优化中考虑到的学科因素越来越多，学科之间的耦合作用也越来越强。与此同时，计算机技术的飞速发展使得计算性能得到极大提高，有限元分析、计算流体动力学等仿真手段在工程产品设计中开始得到广泛应用，设计人员从传统的依靠经验公式进行分析的方式中脱离出来，通过建立高精度仿真模型来进行学科分析。上述各种因素使得工程产品MDO需要进行更多昂贵耗时的学科分析和系统分析，单级求解策略已经不再适用。因此，各种多级求解策略开始纷纷涌现，主要包括：
（1）并行子空间优化（concurrent subspace optimization，CSSO）方法；该方法最早由Sobieszczanski-Sobieski[74]于1988年提出，是一种基于全局灵敏度方程（global sensitivity equation，GSE）近似的两级求解策略。该方法根据各个学科分析与优化时所需变量的不同，将设计变量对应分配给各个学科或子空间，每个子空间独立优化一组互不相交的设计变量。在各个子空间的优化过程中，对于该子空间的状态变量，采用该子空间所属学科的分析方法进行计算，对于其他子空间的状态变量，则采用基于GSE的近似方法进行计算。各个子空间的优化结果构成一组设计方案，该方案作为CSSO方法下一次迭代的初始值。CSSO方法不仅降低了系统分析的次数，而且每个子空间可以独立并行地进行设计优化，提高了优化效率。
（2）协同优化（collaborative optimization，CO）方法：Kroo等[75]于1994年在一致性约束优化方法的基础上提出了CO方法，该方法将MDO问题分解为一个系统级和多个子系统级（或学科级）的设计优化问题，各个子系统在不考虑其他子系统设计约束的基础上单独进行设计优化，优化的目标是使子系统设计方案与系统级目标设计方案之间的差异最小。各个子系统优化结果的不一致性由系统级一致性约束进行协调，最后通过系统级优化与子系统级优化之间的多次循环迭代，得到一致性设计方案。
（3）两级集成系统综合（bi-level integrated system synthesis，BLISS）方法：该方法最早由Sobieszczanski-Sobieski等[76]于1998年提出，是一种基于GSE的两级求解策略。该方法将设计变量划分为系统级和学科级两类，进而将原始的MDO问题分成系统级和多个子系统级优化问题。系统级优化与各个子系统级优化通过最优灵敏度导数信息相联系，系统级和子系统级优化交替运行，从而获得MDO问题整体最优解。BLISS方法的有效性取决于求解问题的非线性程度，对于非线性程度较低的问题，该方法可以有效地收敛到最优解，对于非线性程度很高或者非凸问题，该方法会随着初始点选取的不同而得到不同的优化结果。
（4）分级目标传递（analytical target cascading，ATC）方法：ATC方法是Michelena等[77]于1999年提出的一种基于模型和层次优化的多级求解策略。它以工程产品的各个部件为标准将设计问题逐层分解为树型结构，通过最小化树型结构中层与层之间目标传递的偏差来获得工程产品整体最优解。树型结构中的节点称为元素，元素由设计模型和分析模型组成，其中，设计模型通过调用分析模型来计算元素的响应。
3）多目标求解策略的研究现状
工程产品多学科设计优化问题往往会涉及多个相互冲突的优化目标，目前对于求解多目标MDO问题的研究文献不多，其思路主要体现在将传统的多目标优化方法与现有的单目标MDO求解策略进行集成。Tappeta和Renaud[78]提出了多目标协同优化方法，该方法将多个目标进行线性加权转换成单目标问题，然后利用CO方法来求解。Tappeta[79]在其博士学位论文中，对该方法进行了详细的阐述与应用验证。Huang[80]提出了多目标Pareto的并行子空间方法，其本质也是将多目标问题转换成单目标问题，然后利用CSSO方法进行求解。McAllister等[81]将线性物理规划与CO方法进行集成，用于多目标MDO问题的求解。陈刚等[82]提出了一种基于NSGA-Ⅱ算法的多目标协作优化方法。李连升等[83]将物理规划与基于遗传算法改进的CO方法进行集成，用于飞机起落架缓冲器的多目标多学科设计优化。
除了上述集成的方法外，基于博弈论（gametheory）的研究方法也被广泛应用于多目标MDO问题的求解中。Rao[84]将合作博弈方法成功应用于结构多目标优化中。随后，Rao等[85]利用合作博弈方法进行了结构与控制的一体化设计。Lewis和Mistree[86]总结了合作、非合作和领导／随从3种博弈方式，用于描述工程产品多学科设计优化中3种不同的设计场景。Xiao等[87]利用博弈理论建立了学科设计小组之间的协同决策模型。张宏波等[88]将非合作博弈方法应用于汽车耐撞性多目标设计优化中，取得了比传统的线性加权法更好的优化结果。赵健冬等[89]将非合作博弈方法应用于挖掘机工作装置的多目标多学科设计优化中，证明了该方法的有效性。随着工程产品复杂程度的提高，产品设计中考虑到的目标也会逐渐增多，如何快速准确地求解多目标MDO问题是研究的趋势。
1.2.3 可靠性设计优化研究现状
在开展可靠性设计优化时，根据结构的功能要求和相应的极限状态标志，可建立结构的功能函数（performancefunction），也称极限状态函数（limitstate function）[90]：
其中，X=(X1，X2，…，Xn)T表示不确定性随机变量。通常定义Z>0表示结构可靠，Z<0表示结构失效，Z=0表示结构处于安全状态，显然Z=0表示的极限状态边界将整个空间分为可靠域Ωr={X|g(X)>0}和失效域Ωf={X|g(X)≤0}。可靠性分析是对当前设计点处的可靠度水平进行评估，根据当前设计点及其概率分布可以得到功能函数输出响应不满足设计要求的概率，即失效概率。考虑到设计点为连续的随机变量，假设其联合概率密度函数为fX(X)，结构的失效概率可以表示为
基于概率的可靠性设计优化模型如式（1-3）所示[91]，[92]：
其中，d是确定性设计变量；X是随机设计变量；P是随机参数；μX和μP分别是X和P的均值。dL和dU分别是变量d的上下界， 
和 
分别是均值μX的上下界。f（d，μX，μP）表示目标函数，Prob（gi（d，X，P）≤0）≤
表示概率约束，i是概率约束的个数，概率约束表示为失效事件发生的概率应小于或等于许用失效概率（即最大失效概率）。
值得注意的是，式（1-3）的功能函数和式（1-2）的功能函数中的参数含义不同。在可靠性分析中，通常只有确定性变量和随机变量，因为确定性变量不影响结构功能，所以式（1-2）中省略了确定性变量，只存在随机变量。而在可靠性设计优化中，一般有设计对象——确定性变量d和随机变量X（随机分布的均值μX随着设计进行不断迭代更新），此外还存在随机参数P（即随机分布参数不变，相当于可靠性分析中定义的随机变量）。从式（1-3）可以看出，可靠性设计优化分为两个阶段，分别是确定性优化阶段和可靠性分析阶段。当优化阶段结束之后，输出一个新的均值μX给随机变量X。然后，随机变量X携带新的分布参数和随机参数P一起进行可靠性分析。因此式（1-3）中的可靠性分析和式（1-2）在原理上是一致的，只是为了和优化保持一致，才有了式（1-3）中的表达形式。本节将从可靠性分析与可靠性优化两方面对RBDO的国内外研究现状进行综述。
1．可靠性分析研究现状
可靠性分析即对式（1-3）中不等式概率约束的左半部分进行求解，该求解过程是一个不规则空间上的多维积分，如式（1-4）所示：
由于积分空间和积分表达式的复杂性，使得它的计算成本非常昂贵，有时甚至无法求解。并且，实际工程中功能函数的具体响应值需要借助有限元、计算流体动力学等计算成本昂贵的商用软件才能得到。因此，在保证失效概率求解精度的前提下最大限度地减少功能函数响应的计算次数是可靠性分析领域的重要问题。目前已有的可靠性分析方法可以大致分为3类：①近似解析法；②仿真模拟法；③代理模型法。
1）近似解析法
近似解析法最早起源于1947年Freudenthal[93]提出的结构安全度概念，随后，Cornell[94]于1969年提出了可靠性指标的概念，将结构响应的一阶矩和二阶矩与可靠度指标和失效概率进行对应。但当时的一次二阶矩法（first-order second moment，FOSM）计算结果不具有唯一性，求解具有相同物理模型、不同形式的功能函数可能会得到不同的可靠度指标。直到1974年，Hasofer和Lind[95]给出了一个新的可靠度指标和相应的最大可能失效点（most probable point，MPP）概念：可靠度表示在独立标准正态分布空间中坐标原点到极限状态曲面的最小距离，而最小距离对应的点称为MPP点。为了解决Hasofer-Lind方法仅能处理系统变量为正态分布的问题，Rackwitz和Flessler[96]于1978年提出了一种近似变换方法，建立了著名的HL-RF迭代方法，该方法成为国际结构安全联合委员会推崇的标准算法。在HL-RF迭代方法的基础上，相关学者又提出了一系列的改进方法。
经过近几十年的发展，目前常用的方法主要有一次可靠性方法（first-order reliability method，FORM）和二次可靠性方法（second-order reliability method，SORM）。二者区别在于将功能函数在MPP点处进行一次或者二次Taylor展开，SORM由于能够利用极限状态函数在MPP点附近的曲率信息，从而比FORM更加精确。但SORM需要计算结构的Hessian矩阵，计算效率相对较低。此外，FORM和SORM只能处理独立分布的随机变量。因此，有关学者提出了许多变换方法，如Rosenblatt变换法[97]、正交变换法[98]、Nataf变换法[99]等。另一方面，FORM和SORM需要把非正态随机变量转换为正态分布随机变量，这种转换将增加功能函数的非线性，造成结果精度可能偏低。为了避免这种转换，相关学者也提出了一系列的方法，此处不再赘述。
2）仿真模拟法
仿真模拟法的基本思想是根据随机变量的统计分布规律按照一定策略随机抽取样本，进行大量的重复性试验以获得样本点的响应，然后依据大数定律估计相应的失效概率[100]。其中，蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo simulation，MCS）是可靠性分析中应用最广的方法之一。理论上，MCS方法可以处理任何可靠性问题而不受变量维度和问题复杂度的影响，具有简单精确、稳健性强的优点。但是MCS计算效率过低，尤其是对于单次计算成本较高问题和小失效概率问题，大量样本点所花费的计算时间是难以接受的。由于MCS方法所求得结果非常精确，一般将其作为参考结果验证其他方法的有效性。为了提高仿真模拟法的效率，有关学者提出了一些改进的仿真方法，如重要抽样法（importance sampling，IS）、自适应重要抽样法（adaptive importance sampling，AIS）、子集模拟法（subset simulation，SS）、线抽样法（line sampling，LS）、方向抽样法等。
重要抽样法是一种最常见的改进仿真模拟法，具有抽样效率高、计算方差小的优点。重要抽样法把抽样中心从随机变量的均值点处移动到极限状态函数上的验算点，增加样本点落入失效域的概率，从而提高抽样效率和收敛速度。验算点的获取一般需要求解一个约束优化问题，有时多个验算点不易求解，常规重要抽样不太实用。于是有关学者还提出了一些自适应重要采样法，如：基于核密度估计的自适应重要抽样方法、基于模拟退火的自适应重要抽样方法等。但是，重要抽样法在处理高维问题和小失效概率问题时仍然面临很大挑战。有关学者提出了子集模拟法，它通过构造中间失效事件，将较小的失效概率转化成一系列较大的条件失效概率的乘积。同时，使用马尔科夫链MCS高效模拟条件样本点来估计中间事件的失效概率，相对于MCS大大提升效率。线抽样法是另一种处理高维小失效概率问题的有效方法，它在标准正态空间将一个高维抽样问题转化为多个一维的条件概率问题，从而实现了高效计算的目的。
3）代理模型法
对于复杂工程问题，功能函数通常表现为强非线性，甚至没有显示形式。因此利用有限的样本信息建立结构输入输出的映射关系，并建立代理模型来代替计算昂贵的原始功能函数去预测未知样本点的响应值。构建代理模型所需样本点的数目直接关系到计算方法的效率，当代理模型构建完毕之后，即可使用仿真模拟法调用代理模型求得失效概率。
2．可靠性设计优化研究现状
在可靠性设计优化中，当内部循环完成可靠性分析之后，外层循环接收可靠性分析结果，并进行新的外层确定性优化迭代。RBDO由于具有双层结构，在求解过程中往往需要大量的迭代信息，这导致RBDO在实际运用中需要大量的计算成本。为提升RBDO效率，学者们提出了一系列新的求解思路。当前，可靠性设计优化方法主要分为两类：①基于概率解析的RBDO方法；②基于近似模型的RBDO方法。
1）基于概率解析的RBDO方法
基于概率解析的RBDO方法主要包括两类策略，一类是以序列优化和可靠度评估法[101](sequential optimization and reliability assessment，SORA)为代表的解耦策略，当然还有安全系数法[102](safety factor approach，SFA)、序列线性规划法[103](sequential approximate programming，SAP)、直接解耦法[104](direct decoupling approach)、罚函数法[105](penalty-based approach)等。
以上解耦方法中，SORA因其操作简单、求解稳定而被广泛使用。在每个优化迭代步，SORA根据最可能失效点构建偏移向量，进而将确定性约束往概率约束处偏移，但SORA并不能保证该偏移向量完全精确，尤其是在优化初始阶段。于是，笔者提出了最优偏移向量[106](optimal shifting vector，OSV)来提升SORA的解耦精度和效率。类似地，湖南大学姜潮等提出了增量偏移向量[107](incremental shifting vector，ISV)。此外，还有一些学者在SORA的基础上发展了凸线性法[108](convex linearization，CL-SORA)、鞍点近似法[109](saddlepoint approximization)等。
另一类则是以单循环法[110]（single loopapproach，SLA）为代表的将内环可靠性分析转接到外环概率约束当中的策略。单循环法结构简单，具有很好的求解效率，但是单循环法只能处理线性或者轻度非线性问题。为了拓宽单循环法的应用，学者们做了一系列的尝试。例如，Mansour等提出了响应面单循环法[111]（respon sesurface single loop，RSSL），该方法在确定性设计解附近构建确定性约束的二次响应面。Jeong等在单循环单向量法[112]（single loop single vector approach，SLSV）的基础上引入了最可能失效点处的共轭梯度信息，进而处理单循环法迭代过程易陷入振荡的缺点。类似地，合肥工业大学孟增等提出了混沌单循环法[113]（chaotic single loop，CSL）来进一步提升单循环法的计算稳定性。此外，单循环法由于依赖不完全精确的近似最可能失效点（most probable point，MPP）来消除内环可靠性分析，而导致其求解过程出现不规律振荡现象。笔者针对这个问题，提出基于KKT条件的判断准则，在优化迭代中自适应混合精确MPP和近似MPP[114]（adaptive hybrid single loop method，AH-SLM）。除了单循环法之外，具有单层优化结构的方法还包括可靠设计空间法[115]（reliable design space，RDS）、迭代可靠设计空间法[116]（iterative reliable design space，IRDS）等。
2）基于近似模型的RBDO方法
如前所述，近似模型技术在工程设计领域具有坚实的应用基础和广阔的应用前景。不同于解析方法主要致力于减少优化循环中可靠性分析的次数或者单次可靠性分析的迭代步数，基于近似模型的RBDO方法致力于用尽可能少的训练点构建足够精确的近似模型来代替原始功能函数。此类方法一般选择仿真模拟法进行可靠性分析，选择梯度优化方法或者元启发式算法进行优化。
基于近似模型的RBDO方法有两类建模策略：①设计域全局建模（global surrogate modeling）策略；②设计驱动的局部建模（design-drived local surrogate modeling）策略。设计域全局建模策略即在最优解可能出现的区域建立精度达标的近似模型，通常有一次采样和序列采样两种方式。当近似模型达到预定精度之后，再基于该模型进行全局优化。而设计驱动的局部建模策略则在每一迭代步的当前优化解附近采样，采样建模和优化序列进行，直至找到最优解。
尽管以上提到的近似模型都可以运用于RBDO中，但支持向量回归模型和Kriging模型的应用相对更加广泛。其中，支持向量回归模型具有天然的分类能力，而Kriging模型能够提供预测局域的不确定性。在支持向量回归模型方面，Hurtado[117]将统计学习理论引入可靠性领域，建立极限状态函数的近似模型，对预测响应进行分类。Missoum等[118-121]则在2007年至2015年间，用支持向量机模型拟合可靠性分析的决策边界，提出一系列函数识别、自适应采样和支持向量机参数选择的策略来处理非连续响应和多失效域问题。此外，Choi等[122]还提出了用于RBDO的虚拟支持向量机。在Kriging模型方面，Choi等[123]，[124]提出动态Kriging模型进行概率分析，同时还提出了变量筛选方法和模型不确定性量化策略[125]，进一步增强了近似模型在可靠性设计优化中的可行性。本书作者充分融合Kriging模型和RBDO的特点，提出了基于目标函数特性、当前最可能失效点的局部自适应更新方法[126]，[127]，此外，本书作者还提出了变可信度建模框架来适应工程需求[128]。